Задача. На координатной плоскости изображены векторы \vec{a}, \vec{b} и \vec{c}. Найдите скалярное произведение (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c}.
Решение
Даны координаты начала и конца вектора \vec{a}: (4; 5) и (-2; 5).
Координаты начала и конца вектора \vec{b}: (-2; -4) и (5; 1).
Координаты начала и конца вектора \vec{c}: (3; -3) и (-6; 2).
Для начала нам нужно вычислить координаты векторов \vec{a}, \vec{b}, и \vec{c}, используя координаты их начала и конца. Координаты вектора находятся вычитанием координат начальной точки из координат конечной точки для каждого измерения:
\displaystyle \vec{a} = (-2 - 4, 5 - 5) = (-6, 0) \\ \vec{b} = (5 - (-2), 1 - (-4)) = (7, 5) \\ \vec{c} = (-6 - 3, 2 - (-3)) = (-9, 5)Теперь, когда у нас есть координаты векторов, мы можем сложить \vec{a} и \vec{b}:
\vec{a} + \vec{b} = (-6 + 7, 0 + 5) = (1, 5)Скалярное произведение векторов (\vec{a} + \vec{b}) и \vec{c} находится путем умножения соответствующих координат и сложения результатов:
(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = (1 \cdot (-9)) + (5 \cdot 5) = -9 + 25 = 16Таким образом, скалярное произведение (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} равно 16.
Ответ: 16.
