Задача. При температуре 0 °C рельс имеет длину l_0 = 15 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l(t) = l_0(1 + \alpha t), где \alpha = 1,2 \cdot 10^{-5} (°C)^{-1} — коэффициент теплового расширения, t^\circ — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 7,2 мм? Ответ дайте в градусах Цельсия.
Решение
Дано, что исходная длина рельса l_0 = 15 м, и при изменении температуры длина рельса меняется по закону l(t) = l_0(1 + \alpha t), где \displaystyle \alpha = 1,2 \cdot 10^{-5} (°C)^{-1} — коэффициент теплового расширения.
Нам нужно найти температуру t, при которой рельс удлинится на 7,2 мм, что равно 0,0072 м.
По формуле теплового расширения:
l(t) - l_0 = l_0 \alpha t \\ l(t) = l_0 + l_0 \alpha t
Заменим l(t) на l_0 + 0,0072, так как именно на эту величину удлинился рельс:
15 + 0,0072 = 15 + 15 \cdot 1,2 \cdot 10^{-5} t
Теперь упростим уравнение и найдём t:
\displaystyle 0,0072 = 15 \cdot 1,2 \cdot 10^{-5} t \\[5mm] t = \frac{0,0072}{15 \cdot 1,2 \cdot 10^{-5}} = \frac{0,0072}{18 \cdot 10^{-5}} = \frac{0,0072}{0,00018}= 40
Таким образом, ответ t = 40°C.
Ответ: 40.
Спасибо.