На координатной плоскости изображены векторы a и b. Найдите скалярное произведение векторов 2a и b.

На координатной плоскости изображены векторы a и b. Найдите скалярное произведение векторов 2a и b ЕГЭ

На координатной плоскости изображены векторы \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b}. Найдите скалярное произведение векторов 2\overrightarrow{a} и \overrightarrow{b}.

Рисунок к задаче вар 2 задача 2
Рисунок к задаче

Решение

Определим координаты векторов, так как скалярное произведение проще всего найти через координаты векторов по формуле.

Формула скалярного произведения двух векторов \displaystyle \overrightarrow{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n)и \displaystyle \overrightarrow{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_n) в n-мерном пространстве через их координаты выглядит следующим образом:

\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots + a_n b_n

В трёхмерном пространстве это будет:

\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z

где a_x, \: a_y, \: a_z \: и \: b_x, \: b_y, \: b_z — координаты векторов \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} соответственно.

В двумерном пространстве формула скалярного произведения двух векторов \overrightarrow{a} = (x_{\vec{a}}, y_{\vec{a}})и \overrightarrow{b} = (x_{\vec{b}}, y_{\vec{b}}) выглядит следующим образом:

\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_{\vec{a}}\cdot x_{\vec{b}}+y_{\vec{a}}\cdot y_{\vec{b}}

где x_{\vec{a}}, \: y_{\vec{a}} \: и \: x_{\vec{b}}, \: y_{\vec{b}} — координаты векторов \overrightarrow{a}и \overrightarrow{b} соответственно.

На координатной плоскости изображены векторы a и b. Найдите скалярное произведение векторов 2a и b.
На координатной плоскости изображены векторы a и b. Найдите скалярное произведение векторов 2a и b.

Вектор \overrightarrow{a}

точка А: x_A = -6, \: y_A = 4

точка В: x_B = -2, \: y_B = -2

Вектор \overrightarrow{b}

точка С: x_C = -1, \: y_C = -4

точка D: x_D = 2, \: y_D = 3

Находим координаты векторов:

 

 Координаты вектора \overrightarrow{a} (x_{\vec{a}}, y_{\vec{a}}) :

 

\displaystyle \overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB} (x_B - x_A , y_B - y_A) = \overrightarrow{AB} (-2 -(- 6), -2 - 4) = \overrightarrow{AB} (4, -6) = \overrightarrow{a} (4, -6 ) = \overrightarrow{a} (x_{\vec{a}}, y_{\vec{a}})

 

 Координаты вектора \overrightarrow{b} (x_{\vec{b}}, y_{\vec{b}})

 

\displaystyle \overrightarrow{b} = \overrightarrow{CD} (x_D - x_C , y_D - y_C) = \overrightarrow{CD} (2 -(-1), 3 -(-4)) = \overrightarrow{CD} (3, 7) = \overrightarrow{b} (3, 7)= \overrightarrow{b} (x_{\vec{b}}, y_{\vec{b}})

 

 Находим координаты вектора 2\overrightarrow{a}

 

\displaystyle 2\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{a} (8; -12)

 

 Теперь можно определить скалярное произведение векторов: 

 

\displaystyle 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_{\vec{2a}}\cdot x_{\vec{b}}+y_{\vec{2a}}\cdot y_{\vec{b}} = 8 \cdot 3 - 12 \cdot 7 = 24 - 84 = -60

Ответ: -60.

Ольга Викторовна Андрющенко

Андрющенко Ольга Викторовна - математик и физик, к.ф.-м.н., доцент.

Разбор и решение заданий из ОГЭ и ЕГЭ
Подписаться
Уведомить о
guest
1 Комментарий
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии
Татьяна
Татьяна
1 день назад

Здорово, что есть такие сайты, гдде можно наглядно посмотреть весь анализ задачи.