На координатной плоскости изображены векторы a и b. Найдите скалярное произведение векторов 2a и b.

На координатной плоскости изображены векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ . Найдите скалярное произведение векторов 2 $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ .

Рисунок к задаче вар 2 задача 2 — Рисунок к задаче

Решение

Определим координаты векторов, так как скалярное произведение проще всего найти через координаты векторов по формуле.

Формула скалярного произведения двух векторов $\displaystyle \overrightarrow{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ и $\displaystyle \overrightarrow{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_n)$ в $n$ -мерном пространстве через их координаты выглядит следующим образом:

\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots + a_n b_n

В трёхмерном пространстве это будет:

\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z

где $a_x, \: a_y, \: a_z \: и \: b_x, \: b_y, \: b_z$ — координаты векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ соответственно.

В двумерном пространстве формула скалярного произведения двух векторов $\overrightarrow{a} = (x_{\vec{a}}, y_{\vec{a}})$ и $\overrightarrow{b} = (x_{\vec{b}}, y_{\vec{b}})$ выглядит следующим образом:

\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_{\vec{a}}\cdot x_{\vec{b}}+y_{\vec{a}}\cdot y_{\vec{b}}

где $x_{\vec{a}}, \: y_{\vec{a}} \: и \: x_{\vec{b}}, \: y_{\vec{b}}$ — координаты векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ соответственно.