Задача. Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности конуса равна 12\sqrt{2}. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Решение
По условию задачи высота цилиндра равна радиусу его основания (h = r), и нам нужно найти площадь боковой поверхности цилиндра.
Используем формулу для площади боковой поверхности цилиндра:
S_{цилиндра} = 2\pi rhТак как h = r, формула упрощается до:
S_{цилиндра} = 2\pi r^2Теперь найдем площадь боковой поверхности конуса. По условию задачи она равна 12\sqrt{2}. Формула площади боковой поверхности конуса:
S_{конуса} = \pi rlгде l — образующая конуса. Однако, чтобы найти образующую, нам сначала нужно выразить радиус основания цилиндра (который такой же, как у конуса).
Поскольку высота и радиус основания цилиндра равны, образующая конуса, которая является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами r и h, будет равна:
l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{r^2 + r^2} = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2}Теперь подставим значение образующей в формулу площади боковой поверхности конуса и приравняем к известному значению:
\pi r \cdot r\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \\ \pi r^2 \sqrt{2} = 12\sqrt{2}Отсюда найдем r^2:
r^2 = \frac{12\sqrt{2}}{\pi \sqrt{2}} \\ r^2 = \frac{12}{\pi}Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности цилиндра, подставив значение r^2 в упрощенную формулу площади боковой поверхности цилиндра:
S_{цилиндра} = 2\pi r^2 = 2\pi \cdot \frac{12}{\pi} = 2 \cdot 12 = 24Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра равна 24 квадратным единицам.
Ответ: 24.
