Задача. На рисунке изображен график функции f(x)=pa^x. Найдите значение x, при котором f(x)=32.
Решение
Координаты двух точек, (0; 4) и (2; 1), можно использовать для определения параметров функции f(x) = pa^x. Первая точка «говорит» нам, что при x = 0, \displaystyle f(x) = p \cdot a^0 = p \cdot 1 = 4. Это означает, что p = 4.
Используя вторую точку (2; 1), мы можем установить уравнение 4 \cdot a^2 = 1 и найти значение a. Давайте решим это уравнение:
\displaystyle 4 \cdot a^2 = 1 \\ a^2 = \frac{1}{4} \\ a = \frac{1}{2}Теперь у нас есть уравнение функции f(x) = 4 \cdot (\frac{1}{2})^x. Чтобы найти значение x , при котором f(x) = 32, мы установим уравнение:
\displaystyle 4 \cdot (\frac{1}{2})^x = 32Давайте решим это уравнение для x.
\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^x = \frac{32}{4} \\ \left(\frac{1}{2}\right)^x = 8Так как \displaystyle \frac{1}{2}это 2^{-1}, уравнение примет вид:
2^{-x} = 2^3Так как основания степеней равны, показатели степеней должны быть равны:
\displaystyle -x = 3 \\ x = -3Значение x, при котором f(x) = 32 для функции \displaystyle f(x) = 4 \cdot (\frac{1}{2})^x, равно -3 .
Ответ: -3.
