На одной полке стоит 36 блюдец: 14 синих и 22 красных. На другой полке стоит 36 чашек: 27 синих и 9 красных. Наугад берут два блюдца и две чашки. Найдите вероятность, что из них можно будет составить две чайные пары (блюдце с чашкой), каждая из которых будет одного цвета.
Решение:
1. Определение вероятности:
Для начала поймем, что вероятность — это шанс, что что-то произойдет. Она вычисляется как отношение количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов.
2. Вероятность взять два синих блюдца и две синие чашки:
- Первое синее блюдце: 14/36 (так как из 36 блюдец 14 синих)
- Второе синее блюдце (после того, как одно уже взято): 13/35
- Первая синяя чашка: 27/36 (так как из 36 чашек 27 синих)
- Вторая синяя чашка (после того, как одна уже взята): 26/35
Общая вероятность этой комбинации:
\displaystyle P_{син} = \frac{14}{36} \cdot \frac{13}{35} \cdot \frac{27}{36} \cdot \frac{26}{35} = \frac{169}{2100}3. Вероятность взять два красных блюдца и две красные чашки:
- Первое красное блюдце: 22/36 (так как из 36 блюдец 22 красных)
- Второе красное блюдце: 21/35
- Первая красная чашка: 9/36 (так как из 36 чашек 9 красных)
- Вторая красная чашка: 8/35
Общая вероятность этой комбинации:
\displaystyle P_{крас} = \frac{22}{36} \cdot \frac{21}{35} \cdot \frac{9}{36} \cdot \frac{8}{35} = \frac{11}{525}4. Вероятность взять одно синее и одно красное блюдце и одну синюю и одну красную чашку:
Здесь существует 4 возможных комбинации. Например, первое блюдце может быть синим, а второе красным (и наоборот), и также с чашками. Поэтому мы вычисляем вероятность для одной из комбинаций, а затем умножаем результат на 4.
\displaystyle P_{смеш} = 4 \cdot (\frac{14}{36} \cdot \frac{22}{35} \cdot \frac{27}{36} \cdot \frac{9}{35})=4 \cdot \frac{33}{700}Давайте разберём этот момент поподробнее.
Когда мы говорим о вероятности взять одно синее и одно красное блюдце, а также одну синюю и одну красную чашку, мы имеем в виду, что у нас есть 4 разные комбинации, в которых могут быть выбраны эти предметы.
Возможные комбинации:
- Сначала синее блюдце, потом красное, затем синяя чашка и, наконец, красная чашка.
- Сначала синее блюдце, потом красное, затем красная чашка и, наконец, синяя чашка.
- Сначала красное блюдце, потом синее, затем синяя чашка и, наконец, красная чашка.
- Сначала красное блюдце, потом синее, затем красная чашка и, наконец, синяя чашка.
Каждая из этих комбинаций имеет одинаковую вероятность, так как порядок, в котором мы берем предметы, влияет на вероятность.
Вероятность для одной из комбинаций:
Допустим, мы рассматриваем первую комбинацию:
- Вероятность взять синее блюдце первым: \displaystyle \frac{14}{36}
- Вероятность взять красное блюдце вторым: \displaystyle \frac{22}{35} (так как одно блюдце уже взято)
- Вероятность взять синюю чашку третьей: \displaystyle \frac{27}{36}
- Вероятность взять красную чашку четвертой: \displaystyle \frac{9}{35} (так как одна чашка уже взята)
Общая вероятность этой комбинации:
\displaystyle \frac{14}{36} \cdot \frac{22}{35} \cdot \frac{27}{36} \cdot \frac{9}{35}Так как у нас есть 4 разные комбинации и каждая из них имеет одинаковую вероятность, мы умножаем вероятность одной комбинации на 4:
\displaystyle P_{смеш} = 4 \cdot (\frac{14}{36} \cdot \frac{22}{35} \cdot \frac{27}{36} \cdot \frac{9}{35})И это дает нам итоговую вероятность выбора одного синего и одного красного блюдца и одной синей и одной красной чашки.
5. Суммируем все вероятности:
Теперь, чтобы получить общую вероятность того, что можно составить две чайные пары одного цвета, просто сложите все ранее найденные вероятности:
\displaystyle P_{итог} = P_{син} + P_{крас} + P_{смеш}Вычисляем:
\displaystyle P= \frac{169}{2100}+ \frac{11}{525}+4 \cdot \frac{33}{700}=\frac{609}{2100}=\frac{29 \cdot 21}{100 \cdot 21}=\frac{29}{100}=0,29Вероятность составить две чайные пары одного цвета равна 0,29.
Ответ: 0,29