На рисунке изображен график функции f(x) = ax^2 + bx + c , где числа a, b и c — целые. Найдите f(-5).

Задача. На рисунке изображен график функции f(x) = ax^2 + bx + c, где числа a, b и c — целые. Найдите f(-5).

Решение

У нас есть квадратичная функция f(x) = ax^2 + bx + c и три точки, через которые проходит график: (2; 1), (4; -3), (3; -2). Чтобы найти коэффициенты a, b, и c, мы можем подставить координаты точек в уравнение функции и решить получившуюся систему уравнений.

1. Для точки (2; 1):

1 = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c \\ 1 = 4a + 2b + c

2. Для точки (4; -3):

-3 = a \cdot 4^2 + b \cdot 4 + c \\ -3 = 16a + 4b + c

3. Для точки (3; -2):

-2 = a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + c \\ -2 = 9a + 3b + c

Теперь у нас есть система из трех уравнений с тремя неизвестными:

\begin{cases} 4a + 2b + c = 1 \\ 16a + 4b + c = -3 \\ 9a + 3b + c = -2 \end{cases}

Вычтем первое уравнение из второго и третьего, чтобы избавиться от c :

\begin{cases} (16a + 4b + c) - (4a + 2b + c) = -3 - 1 \\ (9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = -2 - 1 \end{cases}

Упростим:

\begin{cases} 12a + 2b = -4 \\ 5a + b = -3 \end{cases}

Теперь умножим второе уравнение на 2 и вычтем из первого:

\begin{cases} (12a + 2b) - 2(5a + b) = -4 - 2 \cdot (-3) \\ 5a + b = -3 \end{cases}

Упрощаем:

\begin{cases} 12a + 2b - 10a - 2b = -4 + 6 \\ 5a + b = -3 \end{cases}

Приведем подобные слагаемые в первом уравнении:

\begin{cases} 2a = 2 \\ 5a + b = -3 \end{cases}

Отсюда a = 1. Подставим a во второе уравнение:

5 + b = -3 \\ b = -3 - 5 \\ b = -8

Теперь, когда у нас есть a и b, подставим их в одно из уравнений системы для нахождения c :

4a + 2b + c = 1 \\ 4 \cdot 1 + 2 \cdot (-8) + c = 1 \\ 4 - 16 + c = 1 \\ c = 1 - 4 + 16 \\ c = 13

Теперь у нас есть все коэффициенты функции: a = 1, b = -8, c = 13. Мы можем найти f(-5):

f(-5) = 1 \cdot (-5)^2 - 8(-5) + 13 \\ f(-5) = 25 + 40 + 13 = 78

Таким образом, f(-5) = 78 .

Ответ: 78.