На рисунке изображены графики функций f(x)=a√x и g(x)=kx+b

Задача. На рисунке изображены графики функций f(x)=a√x и g(x)=kx+b, которые пересекаются в точке A(x0, y0). Найдите $y_0$ .

Решение

На рисунке определим координаты точек, которые принадлежат каждой функции.

oge-ege Рисунок к задаче определить ординату y0 — Рисунок к задаче

Функции $f(x)=a\sqrt{x}$ принадлежат точки (0,0), (4; 3).
Функции $g(x)=kx+b$ принадлежат точки (-4; -4), (4; 0).

У нас сейчас функции заданы в неявном виде, чтобы они были заданы явно, нам надо найти значения $a$ и $k, b$ .

Затем мы найдем точку пересечения этих функций, которая и даст нам значение $y_0$ .

1. Определение $a$ для $f(x) = a\sqrt{x}$ :

Используем точку (4, 3):

\displaystyle 3 = a\sqrt{4} \\ a = \frac{3}{2}

Таким образом, $\displaystyle f(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x}$ .

2. Определение $k$ и $b$ для $g(x) = kx + b$ :

Даны точки (-4, -4) и (4, 0).

Используем эти точки для определения $k$ и $b$ :

\begin{cases} -4 = k(-4) + b \\ 0 = 4k + b \end{cases}

Из решения системы уравнений получаем, что $\displaystyle k = \frac{1}{2}$ и $b = -2$ . Теперь у нас есть уравнения обеих функций:

\displaystyle f(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x} \\ g(x) = \frac{1}{2}x - 2

Чтобы найти точку пересечения $A(x_0, y_0)$ , мы установим равенство этих функций и решим относительно $x$ :

\displaystyle \frac{3}{2}\sqrt{x} = \frac{1}{2}x - 2

Давайте найдем $x_0$ , а затем $y_0$ .

Точка пересечения функций находится при $x_0 = 16$ . Теперь найдем $y_0$ , подставив $x_0$ в любое из уравнений функций. Используем $f(x)$ для этого:

\displaystyle y_0 = \frac{3}{2}\sqrt{16}=6

Точка пересечения функций $\displaystyle f(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x}$ и $\displaystyle g(x) = \frac{1}{2}x - 2$ находится в $A(x_0, y_0)$ с $y_0 = 6$ .

Ответ: 6.