Задача. Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землей, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле l = √(Rh / 500), где R = 6400 км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4 км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до 24 км?
Решение
Давайте сначала выразим h из общей формулы расстояния до горизонта
\displaystyle l = \sqrt{\frac{Rh}{500}}.Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\displaystyle l^2 = \frac{Rh}{500}Теперь умножим обе стороны уравнения на 500 и поделим на R:
\displaystyle 500l^2 = Rh \\ h = \frac{500l^2}{R}Подставим радиус Земли R = 6400 км в формулу для h:
\displaystyle h = \frac{500l^2}{6400}Упростим выражение, поделив числитель и знаменатель на 100 для удобства вычислений:
\displaystyle h = \frac{5l^2}{64}Теперь найдем высоту h_1 для расстояния до горизонта l_1 = 4 км и высоту h_2 для расстояния l_2 = 24 км:
\displaystyle h_1 = \frac{5l_1^2}{64}=\frac{5 \cdot 4^2}{64} \\[5mm] h_2 = \frac{5l_2^2}{64}=\frac{5 \cdot 24^2}{64}Вычислим разницу h_2 - h_1:
\displaystyle h_2 - h_1 = \frac{5 \cdot 24^2}{64} - \frac{5 \cdot 4^2}{64} = \frac{5 \cdot (24^2 - 4^2)}{64} = \frac{5 \cdot (576 - 16)}{64}= \frac{5 \cdot 560}{64} = \frac{2800}{64} = 43,75Таким образом, человеку нужно подняться на 43,75 метра, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до 24 км.
Ответ: 43,75.
