Решите уравнение cosx·cos2x-sin^2 x-cosx=0. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5π/2; -π].

Задача. а) Решите уравнение $\displaystyle \cos{x} \cdot \cos{2x}-\sin^2{x}-\cos{x}=0$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle [-\frac{5\pi}{2}; -\pi]$ .

Решение

а) Решим уравнение:

\displaystyle \cos{x} \cdot \cos{2x}-\sin^2{x}-\cos{x}=0 \\[5mm] \cos{x}(\cos{2x}-1)-\sin^2{x}=0

Так как $\displaystyle \cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x}=1-\sin^2{x}-sin^2{x}=1-2sin^2{x}$ , получим:

\displaystyle \cos{x}(1-2\sin^2{x}-1)-\sin^2{x}=0 \\[5mm] -\cos{x} \cdot 2\sin^2{x}-\sin^2{x}=0

Умножим на (-1) левую и правую части уравнения и вынесем $\sin^2{x}$ за скобки. Получим:

\displaystyle \sin^2{x}(2\cos{x}+1)=0 \\[5mm] \sin^2{x}=0

или

2\cos{x}+1=0

$\sin{x}=0$ , тогда $x=\pi n$ , где $n \in Z$ .
$\displaystyle 2\cos{x}=-1 \\[5mm] \cos{x}=-\frac{1}{2} \\[5mm] x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k$ , где $k \in Z$ .

б) Укажем корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle [-\frac{5\pi}{2}; -\pi]$ .

Нарисуем тригонометрический круг и покажем на нем отрезок $\displaystyle [-\frac{5\pi}{2}; -\pi]$ .

Причем точки -5π/2 и -π входят в отрезок. Теперь нарисуем на этом круге корни уравнения:

x=\pi n

при

n=-2

это будет корень

-2\pi

А еще при $n=-1$ подойдет корень $-\pi$ .

\displaystyle x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k

Точка находится на расстоянии $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ от точки $-\pi$ по ходу движения часовой стрелки. Поэтому нужно будет от $-\pi$ отнять $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ .