Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены точки -2, -1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Решение
Наибольшее значение производной будет в той точке функции, в которой тангенс угла наклона касательной будет наибольшим. Проведем в каждой точке касательную к графику функции. И покажем дугой угол, который составляет касательная к графику функции с положительным направлением оси Ox.
В точке -2, мы не смогли показать пересечение касательной с осью Ox, показали угол с прямой, параллельной оси абсцисс.
Как видим, в точках -2 и 1 угол будет тупой и тангенс такого угла будет отрицательным. В точках -1 и 4 угол будет острым и тангенс положителен. Однако в точке 4 угол будет больше, значит, и тангенс будет больше. Таким образом, имеем два отрицательных значения и два положительных. Соответственно, наибольшее положительное значение — это и будет наибольшее значение производной. И оно будет в точке 4.
Ответ: 4.
