На рисунке изображен график функции f(x) = ax^2 + bx + c. Найдите f(-9).

Задача. На рисунке изображен график функции $f(x) = ax^2 + bx + c$ . Найдите $f(-9)$ .

Решение

Для решения этой задачи мы можем использовать координаты точек, чтобы составить систему уравнений и найти коэффициенты $a$ , $b$ и $c$ квадратичной функции $f(x) = ax^2 + bx + c$ .

Используя точки (-2; -2), (-4; 2), (-5; 1), мы получаем следующие уравнения:

1. Для точки (-2; -2):

a(-2)^2 + b(-2) + c = -2 \\ 4a - 2b + c = -2

2. Для точки (-4; 2):

a(-4)^2 + b(-4) + c = 2 \\ 16a - 4b + c = 2

3. Для точки (-5; 1):

a(-5)^2 + b(-5) + c = 1 \\ 25a - 5b + c = 1

Получаем систему уравнений:

\begin{cases} 4a - 2b + c = -2 \\ 16a - 4b + c = 2 \\ 25a - 5b + c = 1 \end{cases}

Теперь мы решим эту систему уравнений, чтобы найти значения $a$ , $b$ , и $c$ .

Вычтем первое уравнение из второго и первого из третьего, чтобы найти $b$ :
$(16a - 4b + c) - (4a - 2b + c) = 2 - (-2) \\ 12a - 2b = 4 \\ 6a - b = 2$ (уравнение 4)

(25a - 5b + c) - (4a - 2b + c) = 1 - (-2) \\ 21a - 3b = 3 \\ 7a - b = 1

(уравнение 5)

Теперь вычтем уравнение 5 из уравнения 4:
$(6a - b) - (7a - b) = 2 - 1 \\ -a = 1 \\ a = -1$

Подставим значение $a$ в уравнение 4:
$6(-1) - b = 2 \\ -6 - b = 2\\ -b = 8\\ b = -8$

Теперь подставим значения $a$ и $b$ в первое уравнение, чтобы найти $c$ :
$4(-1) - 2(-8) + c = -2 \\ -4 + 16 + c = -2 \\ 12 + c = -2 \\ c = -2 - 12 \\ c = -14$

Функция будет записываться так — $f(x) = -x^2 -8x -14$ , и мы можем найти $f(-9)$ :