При температуре 0 °C рельс имеет длину l_0 = 10 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса

Задача. При температуре 0 °C рельс имеет длину l_0 = 10 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l(t°) = l_0 (1 + \alpha \cdot t°), где \alpha = 1,2 \cdot 10^{-5} (°C)^{-1} — коэффициент теплового расширения, t° — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 6 мм? Ответ дайте в градусах Цельсия.

Решение

Для решения задачи, сначала преобразуем удлинение рельса из миллиметров в метры: 6 \text{ мм} = 0,006 \text{ м}.

Теперь используем формулу теплового расширения:

l(t°) = l_0 (1 + \alpha \cdot t°)

где

l_0 = 10 м (начальная длина рельса), \alpha = 1,2 \cdot 10^{-5} (°C)^{-1} (коэффициент теплового расширения), t° — искомая температура, l(t°) = l_0 + 0,006 м (длина рельса после расширения).

Подставляем известные значения в формулу и выразим t°:

10 + 0,006 = 10 (1 + 1,2 \cdot 10^{-5} \cdot t°)

Раскроем скобки:

10,006 = 10 + 1,2 \cdot 10^{-4} \cdot t°

Отнимем 10 м с обеих сторон:

0,006 = 1,2 \cdot 10^{-4} \cdot t°

Теперь разделим обе стороны на 1,2 \cdot 10^{-4}:

\displaystyle t° = \frac{0,006}{1,2 \cdot 10^{-4}}

Выполним деление:

\displaystyle t° = \frac{0,006}{0,00012}=\frac{6 \cdot 10^{-3}}{12 \cdot 10^{-5}}=0,5 \cdot 10^{2} \\ t° = 50

Таким образом, рельс удлинится на 6 мм при температуре 50 °C .

Ответ: 50.