На рисунке изображены графики функции f(x) = ax^2 + bx + c и g(x) = 2x^2 + 7x + 2

Задача. На рисунке изображены графики функции f(x) = ax^2 + bx + c и g(x) = 2x^2 + 7x + 2, которые пересекаются в точках A(0; 2) и B(x_B; y_B). Найдите x_B.

Решение

Точки C(2; -3) и D(3; -4), принадлежат графику функции f(x). Так как точка A(0; 2) принадлежит обоим графикам, то c = 2. Теперь мы можем использовать координаты точек C и D, принадлежащих графику функции f(x), чтобы найти коэффициенты a и b. Чтобы понять какие точки принадлежат какой функции, просто подставьте их координаты в уравнение функции g(x), если вы получите верное равенство, значит, точка принадлежит g(x), если не получите равенство — это точки функции f(x).

Подставляя координаты точек C и D в уравнение f(x) = ax^2 + bx + c, мы получаем систему уравнений:

\begin{cases} 4a + 2b + 2 = -3 \\ 9a + 3b + 2 = -4 \end{cases}

Решив эту систему, найдём коэффициенты a и b. После нахождения этих коэффициентов, мы сможем найти x_B, приравнивая f(x) и g(x), так как в точке пересечения B их значения должны быть равны.

Давайте решим эту систему и найдем координаты точки B.

Решение системы уравнений:

\begin{cases} 4a + 2b = -5 \\ 9a + 3b = -6 \end{cases}

Умножим первое уравнение на 3, а второе на (-2) и сложим их:

\begin{cases} 12a + 6b = -15 \\ -18a -6b = 12 \end{cases}

 

\begin{cases} 12a + 6b = -15 \\ -6a = -3 \end{cases}

И получаем, \displaystyle a=\frac{1}{2}, \displaystyle b=-\frac{7}{2}.

Теперь, когда мы знаем коэффициенты функции f(x), мы можем записать её уравнение полностью:

\displaystyle f(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{7}{2}x + 2

Чтобы найти x_B, нам нужно приравнять f(x) к g(x), так как они равны в точках пересечения:

\displaystyle \frac{1}{2}x^2 - \frac{7}{2}x + 2 = 2x^2 + 7x + 2

Перенесем все в левую часть:

\displaystyle \frac{1}{2}x^2 - 2x^2 - \frac{7}{2}x - 7x + 2 - 2 = 0

Упростим это уравнение:

\displaystyle -\frac{3}{2}x^2 - \frac{21}{2}x = 0

Теперь уравнение выглядит как:

-1,5x^2 - 10,5x = 0

Чтобы найти корни уравнения, можно использовать метод разложения на множители. Для этого вынесем x за скобки:

x(-1,5x - 10,5) = 0

Теперь у нас есть два возможных решения:

• x = 0
• -1,5x - 10,5 = 0

Решим второе уравнение:

\displaystyle -1,5x = 10,5 \\ x = \frac{10,5}{-1,5} \\ x = -7

Таким образом, решениями исходного уравнения являются x_1 = -7 и x_2 = 0.

x_1=0 — это абсцисса точки А,

значит, x_B=-7

Ответ: -7.