Решите неравенство: log3(9x+16x-9∙4x+8)≥2x.
Решение:
Представим правую часть в виде логарифма по основанию 3:
log3(9x+16x-9∙4x+8)≥log332x. Это неравенство будет верным при выполнении условий:
9x+16x-9∙4x+8≥32x и 9x+16x-9∙4x+8>0.
Так как 32x>0, то решить можно только первое из неравенств.
Запишем его в виде: 32x+42x-9∙4x+8≥32x;
преобразуем и получим: 42x-9∙4x+8≥0.
Сделаем замену: 4x=y.
Решим неравенство: y2-9y+8≥0.
Нули трехчлена y2-9y+8 – у1=1, у2=8.
Неравенство будет верным при y<1 и y>8.
Но у=4х, а 4x>0 при любом х.
Следовательно, 4х будет принадлежать объединению промежутков (0; 1] и [8; +∞).
Найдем промежутки значений х.
Решим уравнения:
- 4х=1, отсюда х=0;
- 4х=8, отсюда 22х=23 и получаем х=3.
4х стремится к нулю при х стремящемся к -∞.
4х стремится к +∞ при х стремящемся к +∞.
Таким образом, х принадлежит объединению промежутков: (-∞; 0] и [1,5; +∞).
Ответ: (-∞; 0] и [1,5; +∞)
Смотрите видео: