Решите неравенство: log3(9^x+16^x-9∙4^x+8)≥2x

Решите неравенство: log₃(9^x+16^x-9∙4^x+8)≥2x.

Решение:

Представим правую часть в виде логарифма по основанию 3:

log₃(9^x+16^x-9∙4^x+8)≥log₃3^2x. Это неравенство будет верным при выполнении условий:

9^x+16^x-9∙4^x+8≥3^2x и 9^x+16^x-9∙4^x+8>0.

Так как 3^2x>0, то решить можно только первое из неравенств.

Запишем его в виде: 3^2x+4^2x-9∙4^x+8≥3^2x;

преобразуем и получим: 4^2x-9∙4^x+8≥0.

Сделаем замену: 4^x=y.

Решим неравенство:  y²-9y+8≥0.

Нули трехчлена y²-9y+8 – у₁=1, у₂=8.

Неравенство будет верным при    y<1 и y>8.

Но у=4^х, а  4^x>0 при любом х.

Следовательно, 4^х будет принадлежать объединению промежутков (0; 1]  и [8; +∞).

Найдем промежутки значений х.

Решим уравнения:

1. 4^х=1, отсюда х=0;
2. 4^х=8, отсюда 2^2х=2³ и получаем х=3.

4^х стремится к нулю при х стремящемся к -∞.

4^х стремится к +∞ при х стремящемся к +∞.

Таким образом, х принадлежит объединению промежутков: (-∞; 0] и [1,5; +∞).

Ответ: (-∞; 0] и [1,5; +∞)

Смотрите видео: