Найдите значение выражения (2^(4/7)5^(2/3))^21/10^12

Задача. Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{(2^{4/7} \cdot 5^{2/3})^{21}}{10^{12}}$ .

Решение

Рассмотрим числитель дроби. Сначала упростим выражение в скобках, возводя оба числа, 2 и 5, в степень 21:

\displaystyle (2^{\frac{4}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{3}})^{21}

Применим свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ , чтобы возвести числа в скобках в 21 степень:

\displaystyle 2^{(\frac{4}{7} \cdot 21)} \cdot 5^{(\frac{2}{3} \cdot 21)}

Умножим степени и получим:

2^{12} \cdot 5^{14}

Теперь у нас есть выражение $\displaystyle \frac{2^{12} \cdot 5^{14}}{10^{12}}$ . Учитывая, что $10 = 2 \cdot 5$ , мы можем преобразовать знаменатель в $(2 \cdot 5)^{12}$ , то есть $2^{12} \cdot 5^{12}$ .

Сокращаем $2^{12}$ в числителе и знаменателе:

\displaystyle \frac{2^{12} \cdot 5^{14}}{2^{12} \cdot 5^{12}} = 5^{14-12}=5^2=25

Ответ: 25.