Задача. Найдите точку минимума функции y = x^3 - 8,5x^2 + 10x - 13.
Решение
Чтобы найти точку минимума функции y = x^3 - 8,5x^2 + 10x - 13, необходимо выполнить несколько шагов.
Первым делом найдем производную данной функции:
y' = (x^3 - 8,5x^2 + 10x - 13)' = 3x^2 - 17x + 10.Теперь необходимо найти критические точки, приравняв производную к нулю:
3x^2 - 17x + 10 = 0.Это квадратное уравнение, и его корни можно найти через дискриминант:
D = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 289 - 120 = 169.Корень из дискриминанта:
\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13.Теперь найдем корни уравнения:
\displaystyle x_1 = \frac{17 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5, \\[5mm] x_2 = \frac{17 - 13}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.Чтобы определить, какой из этих корней соответствует точке минимума, нужно исследовать знаки производной на интервалах между корнями. Для удобства можно использовать вторую производную:
y'' = (x^3 - 8,5x^2 + 10x - 13)'' = (3x^2 - 17x + 10)' = 6x - 17.Подставим корни во вторую производную:
\displaystyle y''(5) = 6 \cdot 5 - 17 = 30 - 17 = 13 > 0, \\[5mm] y''(\frac{2}{3}) = 6 \cdot \frac{2}{3} - 17 = 4 - 17 = -13 < 0.Поскольку вторая производная в точке x = 5 положительна, эта точка является точкой минимума функции.
Ответ: 5.
