Задача. На рисунке изображён график функции f(x)=a^{x-2}. Найдите значение x, при котором f(x)=27.
Решение
Для того, чтобы найти x, при котором f(x)=27, нам надо знать функцию в явном виде, то есть надо найти значение a. Используем координаты точек, которые обозначены на рисунке.
Подставим координаты точки (2; 1):
1 = a^{2 - 2} \\ 1 = a^0Из этого уравнения определить a не получится, так как любое число в нулевой степени будет 1.
Используем координаты второй точки (1; 3):
3 = a^{1 - 2} \\ 3 = a^{-1}Теперь найдём a:
\displaystyle a = \frac{1}{3}Таким образом, функция будет иметь вид:
\displaystyle f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^{x - 2}Теперь найдём значение x , при котором f(x) = 27:
\displaystyle 27 = \left(\frac{1}{3}\right)^{x - 2}Поскольку 27 = 3^3, мы можем переписать уравнение как:
\displaystyle 3^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^{x - 2} \\[5mm] 3^3 = \left(3 \right)^{-x + 2} \\ 3 = -x + 2 \\ x = -1Значение x, при котором f(x) = 27, равно -1.
Ответ: -1.
