Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 16, AC = 20, NC = 15.

Задача. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 16, AC = 20, NC = 15.

Решение

Сначала докажем, что треугольники BMN и ABC подобны. Так как MN || AC, то углы ∠BAC = ∠BMN и ∠BCA = ∠BNM.

Следовательно, треугольники BMN и BAC подобны по двум углам. Для подобных треугольников можно записать следующее соотношение длин их сторон:

Пусть сторона BN = x, тогда сторона BC = x + 15 (по условию задачи), и отношение сторон можно записать как:

Подставим известные длины сторон AC и MN:

Упростим отношение \displaystyle \frac{20}{16} до \displaystyle \frac{5}{4}:

Теперь умножим обе части уравнения на 4x:

Отсюда получаем, что:

Таким образом, длина стороны BN равна 60.

Ответ: 60