На рисунке изображён график функции f(x) = log_a (x+3). Найдите значение x, при котором f(x)=16.

Задача. На рисунке изображён график функции $f(x) = \log_a (x+3)$ . Найдите значение $x$ , при котором $f(x) = 16$ .

Решение

Чтобы решить эту задачу, мы воспользуемся определением логарифмической функции и данными двумя точками, чтобы найти основание $a$ логарифма.

Из определения логарифма знаем, что если $f(x) = \log_a (x+3)$ , то $a^{f(x)} = x+3$ .

Даны две точки, принадлежащие графику функции:

(-2;0) означает, что $\log_a (-2+3) = 0$ . Из свойств логарифмов мы знаем, что логарифм числа по основанию $а$ равен 0 тогда и только тогда, когда число равно 1. Из этого следует, что $a^0 = 1$ . Это верно для любого основания $a$ , так что из этой точки мы не получаем информацию об основании.
(1;4) означает, что $\log_a (1+3) = 4$ . Это означает, что $a^4 = 4$ . То есть $a = \sqrt[4]{4}$ .

Теперь, когда мы знаем основание $a$ , мы можем решить исходное уравнение $f(x) = \log_a (x+3) = 16$ . Значение $f(x)$ равно степени, в которую нужно возвести $a$ , чтобы получить $x+3$ :