Найдите корень уравнения 0,25^(2x-1)=8^(x+3)

Задача. Найдите корень уравнения $\displaystyle 0,25^{2x-1} = 8^{x+3}$ .

Решение

Чтобы решить это уравнение, заметим, что 0,25 можно представить как (1/4) , или же $2^{-2}$ , и что $8$ это $2^3$ . Теперь уравнение примет вид:

\displaystyle (2^{-2})^{2x-1} = (2^3)^{x+3}

Применяем свойство степеней $\displaystyle (a^b)^c = a^{bc}$ к обеим сторонам уравнения:

\displaystyle 2^{-2(2x-1)} = 2^{3(x+3)}

Теперь у нас есть степени с одинаковыми основаниями, что позволяет нам приравнять показатели степени:

\displaystyle -2(2x-1) = 3(x+3)

Раскрываем скобки:

-4x + 2 = 3x + 9

Переносим x на одну сторону и числа на другую:

-4x - 3x = 9 - 2 \\  -7x = 7

Теперь делим обе части на $-7$ :

\displaystyle x = \frac{7}{-7} \\ x = -1

Ответ: -1 .