Найдите корень уравнения 2,5^(2-3x)=0,16^(2x)

Найдите корень уравнения $\displaystyle 2,5^{2-3x} = 0,16^{2x}$ .

Решение

Уравнение $\displaystyle 2,5^{2-3x} = 0,16^{2x}$ преобразуется следующим образом:

\displaystyle \left(\frac{5}{2}\right)^{2-3x} = \left(\frac{2}{5}\right)^{4x}

Так как $\displaystyle 2,5=\frac{5}{2}$ , а $\displaystyle 0,16=\frac{16}{100}=\frac{4}{25}=(\frac{2}{5})^2$ .

Обе стороны уравнения выражены через дроби, которые являются обратными друг другу. Далее, преобразуем правую сторону:

\displaystyle \left(\frac{5}{2}\right)^{2-3x} = \left(\frac{5}{2}\right)^{-4x}

Теперь, когда у нас одинаковые основания степеней, мы можем приравнять их показатели:

2 - 3x = -4x

Решаем это уравнение:

2 = -4x + 3x, \\ 2 = -x, \\ x = -2.

Таким образом, корень данного уравнения $x = -2$ .

Ответ: -2.