Задача. Решите уравнение \displaystyle \frac{1}{(x - 3)^2} - \frac{3}{x - 3} - 4 = 0 .
Решение
Для уравнения
\displaystyle \frac{1}{(x - 3)^2} - \frac{3}{x - 3} - 4 = 0область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых выражения под знаками корней и в знаменателях дробей имеют смысл. В данном случае, у нас есть дроби с знаменателями (x - 3)^2 и x - 3. Знаменатели не должны быть равны нулю, поскольку деление на ноль не определено.
Следовательно, ОДЗ для данного уравнения:
x - 3 \neq 0Решив это неравенство, получим:
x \neq 3Таким образом, ОДЗ данного уравнения включает все действительные числа, кроме x = 3.
Чтобы решить данное уравнение:
\displaystyle \frac{1}{(x - 3)^2} - \frac{3}{x - 3} - 4 = 0Следуем следующим шагам:
1. Приведем уравнение к общему знаменателю (x - 3)^2:
\displaystyle \frac{1 - 3(x - 3) - 4(x - 3)^2}{(x - 3)^2} = 02. Упростим числитель:
1 - 3(x - 3) - 4(x^2 - 6x + 9) = 1 - 3x + 9 - 4x^2 + 24x - 36 = -4x^2 + 21x - 263. Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно x:
-4x^2 + 21x - 26 = 04. Решим это квадратное уравнение:
\displaystyle x_{1, 2} = \frac{-21 \pm \sqrt{21^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (-26)}}{2 \cdot (-4)}=\frac{-21 \pm \sqrt{441-416}}{-8}=\frac{-21 \pm \sqrt{25}}{-8}Получаем два корня:
\displaystyle x_1 = \frac{-21 - \sqrt{25}}{-8}=\frac{-21-5}{-8}=\frac{26}{8}=\frac{13}{4}=3,25 \\[5mm] x_2 = \frac{-21 + \sqrt{25}}{-8}=\frac{-21 + 5}{-8}=\frac{16}{8}=2Это решения исходного уравнения.
Ответ: x=2 и x=3,25
