Задача. Найдите корень уравнения \displaystyle 4^{5x+2} = 0,8 \cdot 5^{5x+2}.
Решение
Для решения данного уравнения \displaystyle 4^{5x+2} = 0,8 \cdot 5^{5x+2}, преобразуем его, используя свойства степеней.
Заметим, что 0,8 можно представить как \displaystyle \frac{4}{5}. Таким образом, уравнение примет вид:
\displaystyle 4^{5x+2} = \frac{4}{5} \cdot 5^{5x+2}Разделим левую и правую части уравнения на 4:
\displaystyle 4^{5x+2-1} = 5^{5x+2-1}или
\displaystyle 4^{5x+1} = 5^{5x+1}Теперь у нас есть выражение, в котором степени четверки и пятерки одинаковы. Так как основания степеней различны и они не могут быть преобразованы друг в друга, показатели степени этих чисел должны быть равны 0, потому что только в этом случае степени будут равны. В этом случае каждая степень даст в результате 1. Следовательно, мы можем записать:
5x+1=0Теперь решим это линейное уравнение относительно x :
\displaystyle 5x = -1 \\ x = -\frac{1}{5} \\ x=-0,2Таким образом, корень уравнения равен -0,2 .
Ответ: -0,2.
