Найдите точку максимума функции y=(x-14)^2 e^(26-x)

Найдите точку максимума функции y=(x-14)^2 e^(26-x) ЕГЭ

Задача. Найдите точку максимума функции \displaystyle y=(x-14)^2 e^{26-x}.

Решение

Для нахождения точки максимума функции \displaystyle y = (x-14)^2 e^{26-x}нам необходимо:

  1. Найти первую производную y' и определить, при каких значениях x она равна нулю.
  2. Проверить знак производной до и после этих точек (или воспользоваться второй производной) для определения, являются ли они максимумами, минимумами или точками перегиба.

Найдем производную:

\displaystyle y' = ((x-14)^2 e^{26-x})'

Для этого воспользуемся правилом нахождения производной произведения:

\displaystyle (fg)' = f'g + fg',

где f = (x-14)^2и g = e^{26-x}.

Производная для f:

f' = 2(x-14)

Производная для g:

\displaystyle g' = -e^{26-x}

Теперь найдем y':

\displaystyle y' = (x-14)^2(-e^{26-x}) + 2(x-14)e^{26-x} \\[5mm] y' = -(x-14)^2 e^{26-x} + 2(x-14)e^{26-x}

Далее, чтобы найти точки, где y' = 0, решим уравнение:

\displaystyle -(x-14)^2 e^{26-x} + 2(x-14)e^{26-x} = 0

Учитывая, что e^{26-x}не равно нулю (для любого x), чтобы уравнение было равно нулю, именно выражение перед e^{26-x} должно равняться нулю.

Итак, решим уравнение:

\displaystyle -(x-14)^2 + 2(x-14) = 0 \\ (x-14)(-x+14+2)=0 \\ (x-14)(-x+16)=0 \\ x_1 = 14 \\ x_2=16

В точке x=14 будет минимум функции, так как значение функции будет равно 0. Если проанализировать само уравнение функции, то, очевидно, что в точке x=14 график с больших значений y резко падает вниз до 0 и сразу же снова отскакивает вверх.

График функции (x-14)^2 e^(26-x)
График функции (x-14)^2 e^(26-x)

А в точке x=16 будет не нулевое значение, поэтому здесь и будет наблюдаться максимум функции.

Итак, точка максимума: x = 16.

Ответ: 16.

Ольга Викторовна Андрющенко

Андрющенко Ольга Викторовна - математик и физик, к.ф.-м.н., доцент.

Разбор и решение заданий из ОГЭ и ЕГЭ