Найдите точку максимума функции y=(x-14)^2 e^(26-x)

Задача. Найдите точку максимума функции $\displaystyle y=(x-14)^2 e^{26-x}$ .

Решение

Для нахождения точки максимума функции $\displaystyle y = (x-14)^2 e^{26-x}$ нам необходимо:

Найти первую производную $y'$ и определить, при каких значениях $x$ она равна нулю.
Проверить знак производной до и после этих точек (или воспользоваться второй производной) для определения, являются ли они максимумами, минимумами или точками перегиба.

Найдем производную:

\displaystyle y' = ((x-14)^2 e^{26-x})'

Для этого воспользуемся правилом нахождения производной произведения:

\displaystyle (fg)' = f'g + fg'

где $f = (x-14)^2$ и $g = e^{26-x}$ .

Производная для $f$ :

f' = 2(x-14)

Производная для $g$ :

\displaystyle g' = -e^{26-x}

Теперь найдем $y'$ :

\displaystyle y' = (x-14)^2(-e^{26-x}) + 2(x-14)e^{26-x} \\[5mm] y' = -(x-14)^2 e^{26-x} + 2(x-14)e^{26-x}

Далее, чтобы найти точки, где $y' = 0$ , решим уравнение:

\displaystyle -(x-14)^2 e^{26-x} + 2(x-14)e^{26-x} = 0

Учитывая, что $e^{26-x}$ не равно нулю (для любого $x$ ), чтобы уравнение было равно нулю, именно выражение перед $e^{26-x}$ должно равняться нулю.

Итак, решим уравнение:

\displaystyle -(x-14)^2 + 2(x-14) = 0 \\ (x-14)(-x+14+2)=0 \\ (x-14)(-x+16)=0 \\ x_1 = 14 \\ x_2=16

В точке x=14 будет минимум функции, так как значение функции будет равно 0. Если проанализировать само уравнение функции, то, очевидно, что в точке x=14 график с больших значений $y$ резко падает вниз до 0 и сразу же снова отскакивает вверх.