Найдите корень уравнения log_3(5 - 2x) = log_3(1

Найдите корень уравнения log_3(5 — 2x) = log_3(1 — 4x) + 1

Задача. Найдите корень уравнения $\log_3(5 - 2x) = \log_3(1 - 4x) + 1$ .

Решение

Для решения данного уравнения используем свойства логарифмов. Вспомним, что логарифмы с одинаковыми основаниями можно приравнивать, если их аргументы равны. Также, если логарифмическое выражение имеет вид $\log_b a = c$ , то его можно переписать в экспоненциальной форме как $b^c = a$ .

Применяем это свойство для уравнения $\log_3(5 - 2x) = \log_3(1 - 4x) + 1$ .

Заметим, что $1=\log_3 3$ и

\log_3(1 - 4x) + 1 = \log_3((1 - 4x) \cdot 3)

Уравнение принимает вид:

\log_3(5 - 2x) = \log_3(3 - 12x)

Теперь, когда логарифмы с одинаковыми основаниями равны, можем приравнять их аргументы:

5 - 2x = 3 - 12x

Решим это линейное уравнение:

\displaystyle 5 - 3 = -12x + 2x \\ 2 = -10x \\ x = -\frac{2}{10}= -\frac{1}{5}=-0,2

Итак, корень уравнения $\displaystyle x = -\frac{1}{5}=-0,2$ .

Это решение основано на предположении, что аргументы логарифмов положительны, что выполняется для $\displaystyle x =- \frac{1}{5}$ , так как $\displaystyle 5 + 2 \cdot \frac{1}{5} >0$ и $\displaystyle 1 + 4 \cdot \frac{1}{5} >0$ , что соответствует области определения логарифма.

Ответ: -0,2