Задача. Найдите корень уравнения \log_4 (7 + 6x) = \log_4 (1 + x) + 2.
Решение
Поскольку логарифмические выражения имеют одинаковые основания, их можно приравнять, если аргументы будут равны. Кроме того, логарифмическое выражение \log_b a = c может быть переписано в экспоненциальной форме как b^c = a.
Применим это к нашему уравнению \log_4(7 + 6x) = \log_4(1 + x) + 2.
Перепишем выражение справа, учитывая, что 2 = \log_4 16, так как 4^2 = 16:
\log_4(1 + x) + 2 = \log_4((1 + x) \cdot 16)Теперь уравнение принимает вид:
\log_4(7 + 6x) = \log_4(16 + 16x)Поскольку логарифмы равны, равны и их аргументы:
7 + 6x = 16 + 16xРешим данное линейное уравнение:
\displaystyle 7 - 16 = 16x - 6x \\ -9 = 10x \\[5mm]x = -\frac{9}{10}Таким образом, корень уравнения \displaystyle x = -0,9.
Это решение справедливо, если аргументы логарифмов положительны, что выполняется для \displaystyle x = -\frac{9}{10}, так как \displaystyle 7 + 6 \cdot (-\frac{9}{10}) > 0 и \displaystyle 1 - \frac{9}{10} > 0, что соответствует области определения логарифма.
Ответ: -0,9.