Найдите корень уравнения log_4 (7 + 6x) = log

Найдите корень уравнения log_4 (7 + 6x) = log_4 (1 + x) + 2

Задача. Найдите корень уравнения $\log_4 (7 + 6x) = \log_4 (1 + x) + 2$ .

Решение

Поскольку логарифмические выражения имеют одинаковые основания, их можно приравнять, если аргументы будут равны. Кроме того, логарифмическое выражение $\log_b a = c$ может быть переписано в экспоненциальной форме как $b^c = a$ .

Применим это к нашему уравнению $\log_4(7 + 6x) = \log_4(1 + x) + 2$ .

Перепишем выражение справа, учитывая, что $2 = \log_4 16$ , так как $4^2 = 16$ :

\log_4(1 + x) + 2 = \log_4((1 + x) \cdot 16)

Теперь уравнение принимает вид:

\log_4(7 + 6x) = \log_4(16 + 16x)

Поскольку логарифмы равны, равны и их аргументы:

7 + 6x = 16 + 16x

Решим данное линейное уравнение:

\displaystyle 7 - 16 = 16x - 6x \\ -9 = 10x \\[5mm]x = -\frac{9}{10}

Таким образом, корень уравнения $\displaystyle x = -0,9$ .

Это решение справедливо, если аргументы логарифмов положительны, что выполняется для $\displaystyle x = -\frac{9}{10}$ , так как $\displaystyle 7 + 6 \cdot (-\frac{9}{10}) > 0$ и $\displaystyle 1 - \frac{9}{10} > 0$ , что соответствует области определения логарифма.

Ответ: -0,9.