Задача. Найдите наибольшее значение функции y = 2x^2 - 12x + 8 \ln x - 5 на отрезке \displaystyle \left[\frac{12}{13}; \frac{14}{13}\right].
Решение
Найдем производную функции y = 2x^2 - 12x + 8 \ln x - 5:
\displaystyle y' = 4x - 12 + \frac{8}{x}Критические точки будут найдены из уравнения:
\displaystyle 4x - 12 + \frac{8}{x} = 0Для решения этого уравнения приведем его к общему знаменателю:
4x^2 - 12x + 8 = 0Разделим обе части уравнения на 4:
x^2 - 3x + 2 = 0С помощью теоремы Виета находим корни уравнения: x = 1 и x = 2.
Теперь найдём вторую производную:
\displaystyle y'' = 4 - \frac{8}{x^2}Вторая производная поможет нам определить выпуклость функции. Если вторая производная положительна в критической точке, функция выпукла вниз, и критическая точка будет точкой минимума. Если отрицательна — функция выпукла вверх, и критическая точка будет точкой максимума.
Поскольку интервал \displaystyle \left[\frac{12}{13}; \frac{14}{13}\right] включает в себя точку x = 1, то есть \displaystyle \frac{13}{13}, проверим знак второй производной в этой точке:
\displaystyle y''(1) = 4 - \frac{8}{1^2} \\ y''(1) = 4 - 8 \\ y''(1) = -4Вторая производная в точке x = 1 отрицательна, следовательно, функция выпукла вверх, и x = 1 является точкой максимума на этом интервале.
Теперь, когда мы знаем, что функция достигает максимума в точке x = 1, вычислим y(1):
y(1) = 2 \cdot 1^2 - 12 \cdot 1 + 8 \ln(1) - 5 \\ y(1) = 2 - 12 + 0 - 5 \\ y(1) = -15Это максимальное значение функции на интервале \displaystyle \left[\frac{12}{13}; \frac{14}{13}\right], так как на концах интервала и в любой другой точке внутри интервала значение функции будет меньше.
Ответ: -15.