Найдите наибольшее значение функции y = 3cos(x) + 8x — 5 на отрезке [-3π/2; 0]

Задача. Найдите наибольшее значение функции y = 3\cos{x} + 8x - 5 на отрезке \displaystyle \left[ -\frac{3\pi}{2}; 0 \right].

Решение

Чтобы найти наибольшее значение функции y = 3\cos{x} + 8x - 5 на заданном отрезке \displaystyle \left[ -\frac{3\pi}{2}; 0 \right], нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции y .

2. Найти критические точки, приравняв производную к нулю.

3. Оценить функцию y в критических точках и на концах отрезка.

Нахождение производной

Производная функции y будет:

\displaystyle y' = (3\cos{x} + 8x - 5)' \\[5mm] y' = -3\sin{x} + 8

Нахождение критических точек

Критические точки находятся путём приравнивания производной к нулю:

\displaystyle -3\sin{x} + 8 = 0 \\[5mm]  \sin{x} = \frac{8}{3}

Значение синуса не может быть больше 1, поэтому нет решения у этого уравнения в действительных числах. Это означает, что наибольшее значение функции будет в одном из концов отрезка.

Оценка функции на концах отрезка

Теперь оценим функцию y в точках \displaystyle -\frac{3\pi}{2}и 0:

При \displaystyle x = -\frac{3\pi}{2}:

\displaystyle y\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = 3\cos{\left(-\frac{3\pi}{2}\right)} + 8\left(-\frac{3\pi}{2}\right) - 5

Косинус \displaystyle -\frac{3\pi}{2} равен 0, так как это точка на половине пути между \pi и 2\pi, где синус достигает своего минимума или максимума, и косинус равен 0.

\displaystyle y\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = 3 \cdot 0 - 8 \cdot \frac{3\pi}{2} - 5 \\[5mm]  y\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = -12\pi - 5

При x = 0:

y(0) = 3\cos{0} + 8 \cdot 0 - 5

Получается:

y(0) = 3 \cdot 1 - 5 \\ y(0) = 3 - 5 \\ y(0) = -2

Сравниваем два значения:

\displaystyle y\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = -12\pi - 5 \\[5mm] y(0) = -2

Значение -12\pi - 5меньше, чем -2, поскольку \pi примерно равно 3,14159, и -12\pi будет довольно большим отрицательным числом. Следовательно, наибольшее значение функции на заданном отрезке находится в точке x = 0и равно -2.

Ответ: -2 .