Найдите наименьшее значение функции y = 42 cos x

Найдите наименьшее значение функции y = 42 cos x — 45x + 35 на отрезке [-3π/2; 0].

Задача. Найдите наименьшее значение функции $y = 42\cos x - 45x + 35$ на отрезке $\displaystyle \left[ -\frac{3\pi}{2}; 0 \right]$ .

Решение

Чтобы найти наименьшее значение функции $y = 42\cos x - 45x + 35$ на отрезке $\displaystyle \left[ -\frac{3\pi}{2}; 0 \right]$ , мы должны выполнить следующие действия:

Найдем критические точки функции на данном интервале, то есть значения x , в которых производная функции равна нулю или не существует.
Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка.
Сравним полученные значения и выберем наименьшее.

Сначала найдем производную функции $y$ :

\displaystyle y' = (42\cos x - 45x + 35)'

Производная косинуса равна минус синусу, а производная постоянной равна нулю:

y' = -42\sin x - 45

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\displaystyle -42\sin x - 45 = 0 \\ \sin x = -\frac{45}{42} \\ \sin x = -\frac{15}{14}

Поскольку значение синуса не может быть больше 1 или меньше -1, уравнение не имеет решений. Это означает, что у функции нет критических точек на интервале из-за того, что производная не равна нулю ни в одной точке этого интервала.

Далее, мы вычисляем значения функции на концах отрезка:

Для $\displaystyle x = -\frac{3\pi}{2}$ :

\displaystyle y\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = 42\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) - 45\left(-\frac{3\pi}{2}\right) + 35 \\[5mm]  y\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = 42\cdot 0 + 45\cdot \frac{3\pi}{2} + 35 \\[5mm] y\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = 0 + \frac{135\pi}{2} + 35

Для $x = 0$ :

y(0) = 42\cos(0) - 45\cdot 0 + 35 = 42\cdot 1 + 0 + 35 = 42 + 35 = 77

Поскольку у нас нет критических точек на интервале, наименьшее значение функции будет на одном из концов отрезка. Сравнивая $\displaystyle y\left(-\frac{3\pi}{2}\right)$ и $y(0)$ , мы видим, что $y(0)$ меньше, так как значение $\displaystyle \frac{135\pi}{2}$ значительно больше 77.

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке $\displaystyle \left[ -\frac{3\pi}{2}; 0 \right]$ равно 77.

Ответ: 77.