Решите неравенство 5^(x+2) + 5^(x+1) – 5^x < 3^(x/2 + 1) – 3^x/2 – 3^(x/2

Решите неравенство 5^(x+2) + 5^(x+1) – 5^x < 3^(x/2 + 1) – 3^x/2 – 3^(x/2 – 1)

Задача. Решите неравенство 5^x+2 + 5^x+1 – 5^x < 3^{x/2 + 1} – 3^x/2 – 3^{x/2 – 1}

Решение

\displaystyle 5^{x+2} + 5^{x+1} - 5^x < 3^{\frac{x}{2} + 1} - 3^{\frac{x}{2}} - 3^{\frac{x}{2} - 1}, \\[5mm]  5^x(25 + 5 - 1) < 3^{\frac{x}{2}}(3 - 1 - \frac{1}{3}), \\[5mm] 5^x \cdot 29 < 3^{\frac{x}{2}} \cdot \frac{5}{3}, \\[5mm] \left(\frac{5}{\sqrt{3}}\right)^x < \frac{5}{87}

(так как

\displaystyle a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}

)

Так как функция $\displaystyle \left(\frac{5}{\sqrt{3}}\right)^x$ является возрастающей, то большему значению аргумента соответствует большее значение функции, логарифмируя левую и правую части неравенства, получаем:

\displaystyle x<\log_{\frac{5}{\sqrt{3}}} \frac{5}{87}

Ответ: $\displaystyle (-\infty; \log_{\frac{5}{\sqrt{3}}} \frac{5}{87})$ .