Найдите наименьшее значение функции y=x√x-27x+6 на отрезке [1; 422]

Задача. Найдите наименьшее значение функции $y = x\sqrt{x} - 27x + 6$ на отрезке [1; 422].

Решение

Найдем производную функции $y$ по $x$ , чтобы определить критические точки, в которых функция может достигать экстремума (максимума или минимума):

\displaystyle y' = \frac{3}{2}\sqrt{x} - 27

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

\displaystyle \frac{3}{2}\sqrt{x} - 27 = 0

Упростим уравнение:

\sqrt{x} = 18

Возведем левую и правую части в квадрат:

x = 324

Критическая точка принадлежит отрезку [1; 422].

Вычислим значение функции в критической точке и на концах отрезка:

y(1) = 1 \cdot \sqrt{1} - 27 \cdot 1 + 6 = -20 \\ y(324) = 324 \cdot \sqrt{324} - 27 \cdot 324 + 6 = -2910 \\ y(422) = 422 \cdot \sqrt{422} - 27 \cdot 422 + 6 \approx -2719.01

Наименьшее значение функции $y = x\sqrt{x} - 27x + 6$ на отрезке [1; 422] равно -2910.

Ответ: -2910.