Найдите наименьшее значение функции y=x√x-27x+6 на отрезке [1; 422]

Найдите наименьшее значение функции $y=x \sqrt{x}-27x+6$ на отрезке [1; 422].

Решение:

Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, начинаем с нахождения производной функции.

\displaystyle y^{\prime}=(x^{\frac{3}{2}}-27x+6)^{\prime}=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-27

Приравняем к нулю и найдем критические точки функции.

\displaystyle \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-27=0 \\ \frac{3}{2} \sqrt{x}-27=0

Находим,

\displaystyle \frac{3}{2} \sqrt{x}=27 \\  \sqrt{x}=18 \\ x=321

Критическая точка $x=321$ входит в отрезок [1; 422]

Теперь ищем значения функции на границах отрезка и в критической точке. Среди полученных значений находим наименьшее и записываем его в ответ.

$y(1)=1-27+6=-20$
$y(324)=324 \cdot 18-27 \cdot 324+6=5832-8748+6=-2910$
$y(422)=422 \sqrt{422}-27 \cdot 422+6 \approx 422 \cdot 20,5-11394+6= \\ =8657-11394=-2737$

Ответ: -2910.