Найдите наименьшее значение функции y=(x²-10x+10)e^(2-x) на отрезке [-1; 7]

Задача. Найдите наименьшее значение функции y=(x²-10x+10)e^(2-x) на отрезке [-1; 7]

Решение

Для того чтобы найти минимальное значение функции \displaystyle y = (x^2 - 10x + 10)e^{2-x} на отрезке [-1; 7], выполним следующие шаги:

1. Найдем производную функции, чтобы определить точки, в которых функция может иметь локальные экстремумы.
2. Проверим значения функции в этих точках, а также на концах отрезка, чтобы определить минимум.

1. Нахождение производной:

Используем правило производной произведения:
(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

В нашем случае f(x) = x^2 - 10x + 10 и g(x) = e^{2-x}.

Производная для f(x):

Производная для g(x):

Теперь найдем производную произведения:
\displaystyle y' = (2x - 10)e^{2-x} + (x^2 - 10x + 10)(-e^{2-x}) \\ y' = (2x - 10 - x^2 + 10x - 10)e^{2-x} \\ y' = (12x - x^2-20)e^{2-x}

2. Определение точек экстремума:

Для этого приравняем производную к нулю:
(12x - x^2-20)e^{2-x} = 0 Так как e^{2-x} никогда не равно 0, то:
\displaystyle 12x - x^2-20 = 0 \\ x^2 - 12x+20 = 0

Решим квадратное уравнение:

В интервал [-1; 7] входит только первый корень x_1=2.

Теперь нам нужно проверить значения функций на границах интервала [-1; 7] и в точке 2.

Таким образом, наименьшее значение на отрезке — будет в точке x=2 и равно -6.

Ответ: -6