В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD основание ABCD – квадрат со стороной 6, а боковое ребро равно 12

Задача. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD основание ABCD – квадрат со стороной 6, а боковое ребро равно 12. На ребре SA отмечена точка М так, что SM=6.

а) Постройте перпендикуляр из точки S на плоскость BCM.

б) Найдите расстояние от вершины S до плоскости BCM.

Решение

Чтобы построить перпендикуляр из точки S на плоскость BCM, нужно построить эту плоскость ВСМ, затем понять, как проводить этот перпендикуляр. Чертеж получится тот же. А расчеты будем проводить согласно данным из условия настоящей задачи.

Этапы построения: рисунки 1 и 2.

Смотрим рисунок 3.

Рассмотрим ∆MAB и применим теорему косинусов:

МВ² = АВ²+ АМ²-2∙АВ∙АМ∙cosφ;

Рассмотрим трапецию BMNC (рис. 4).

Из прямоугольного треугольника ВРМ по теореме Пифагора:

Смотрим рисунок 2. Рассмотрим ∆SKF.

Так как cosα < 0, то угол α – тупой.

Проводим ST⊥KF.

Так как угол α – тупой, то ST лежит вне треугольника SKF.

Из ∆SKT   ST = SK ∙ sin(180⁰-α); ST = SK ∙ sinα.

Зная косинус α, найдем синус α.