Найдите точку максимума функции y=-4/3 x√x+7x+15

Найдите точку максимума функции y=-4_3 x√x+7x+15 ЕГЭ

Задача. Найдите точку максимума функции \displaystyle y=-\frac{4}{3} x \sqrt{x}+7x+15.

Решение

Функция \displaystyle y = -\frac{4}{3}x\sqrt{x} + 7x + 15 определена для x \geq 0, так как квадратный корень из отрицательного числа не определен в области действительных чисел.

Чтобы найти точку максимума, необходимо взять первую производную функции по x и приравнять её к нулю, чтобы найти критические точки. Затем, используя вторую производную или тест первой производной, можно определить, является ли критическая точка точкой максимума.

Давайте найдём первую производную функции y:

\displaystyle y' = -\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} + 7

Упрощаем:

\displaystyle y' = -2x^{\frac{1}{2}} + 7

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\displaystyle -2x^{\frac{1}{2}} + 7 = 0 \\[5mm] 2x^{\frac{1}{2}} = 7 \\[5mm] x^{\frac{1}{2}} = \frac{7}{2} \\[5mm] x = \left(\frac{7}{2}\right)^2 \\[5mm] x = \frac{49}{4}=12,25

Теперь, чтобы определить, является ли это значение x точкой максимума, нужно взять вторую производную и проверить её знак в этой точке, или использовать первую производную, проверив знаки производной слева и справа от критической точки.

Найдем вторую производную:

\displaystyle y'' = -x^{-\frac{1}{2}}

Подставим x = 12,25 во вторую производную:

\displaystyle y''\left(12,25\right) = -\left(12,25\right)^{-\frac{1}{2}}

Значение второй производной будет отрицательным, так как перед четной степенью стоит знак минус, следовательно, точка x = 12,25 является точкой максимума.

Ответ: 12,25

Теория

Чтобы проверить, является ли критическая точка (то есть точка, где первая производная функции равна нулю) точкой максимума или минимума с помощью второй производной, можно использовать следующее правило:

1. Найдите первую производную функции f'(x) и определите критические точки, решив уравнение f'(x) = 0.

2. Найдите вторую производную функции f''(x).

3. Подставьте координаты x критических точек во вторую производную:

  • Если f''(x) > 0 в критической точке, то функция f(x) имеет локальный минимум в этой точке.
  • Если f''(x) < 0 в критической точке, то функция f(x) имеет локальный максимум в этой точке.
  • Если f''(x) = 0 в критической точке, то вторая производная не дает ответа, и точка может быть точкой перегиба и требует дальнейшего анализа.
Ольга Викторовна Андрющенко

Андрющенко Ольга Викторовна - математик и физик, к.ф.-м.н., доцент.

Разбор и решение заданий из ОГЭ и ЕГЭ
Подписаться
Уведомить о
guest
2 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии
Олеся
Олеся
25 дней назад

Не понимаю, как 3/2 получилось?

admin
admin
24 дней назад
Ответить на  Олеся

x√x = x^(3/2), так как √x=x^(1/2). x√x=x^1⋅x^(1/2)=x^(1+1/2)=x^(3/2). Теперь когда берем производную (3/2) выносится перед x, а в показатель степени понижаем на 1, получаем: 3/2 x^(1/2).