Задача. Найдите точку максимума функции \displaystyle y=-\frac{4}{3} x \sqrt{x}+7x+15.
Решение
Функция \displaystyle y = -\frac{4}{3}x\sqrt{x} + 7x + 15 определена для x \geq 0, так как квадратный корень из отрицательного числа не определен в области действительных чисел.
Чтобы найти точку максимума, необходимо взять первую производную функции по x и приравнять её к нулю, чтобы найти критические точки. Затем, используя вторую производную или тест первой производной, можно определить, является ли критическая точка точкой максимума.
Давайте найдём первую производную функции y:
\displaystyle y' = -\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} + 7Упрощаем:
\displaystyle y' = -2x^{\frac{1}{2}} + 7Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
\displaystyle -2x^{\frac{1}{2}} + 7 = 0 \\[5mm] 2x^{\frac{1}{2}} = 7 \\[5mm] x^{\frac{1}{2}} = \frac{7}{2} \\[5mm] x = \left(\frac{7}{2}\right)^2 \\[5mm] x = \frac{49}{4}=12,25Теперь, чтобы определить, является ли это значение x точкой максимума, нужно взять вторую производную и проверить её знак в этой точке, или использовать первую производную, проверив знаки производной слева и справа от критической точки.
Найдем вторую производную:
\displaystyle y'' = -x^{-\frac{1}{2}}Подставим x = 12,25 во вторую производную:
\displaystyle y''\left(12,25\right) = -\left(12,25\right)^{-\frac{1}{2}}Значение второй производной будет отрицательным, так как перед четной степенью стоит знак минус, следовательно, точка x = 12,25 является точкой максимума.
Ответ: 12,25
Теория
Чтобы проверить, является ли критическая точка (то есть точка, где первая производная функции равна нулю) точкой максимума или минимума с помощью второй производной, можно использовать следующее правило:
1. Найдите первую производную функции f'(x) и определите критические точки, решив уравнение f'(x) = 0.
2. Найдите вторую производную функции f''(x).
3. Подставьте координаты x критических точек во вторую производную:
- Если f''(x) > 0 в критической точке, то функция f(x) имеет локальный минимум в этой точке.
- Если f''(x) < 0 в критической точке, то функция f(x) имеет локальный максимум в этой точке.
- Если f''(x) = 0 в критической точке, то вторая производная не дает ответа, и точка может быть точкой перегиба и требует дальнейшего анализа.