Задача. В тупоугольном треугольнике ABC известно, что AC = BC, высота AH равна 3, CH = √7. Найдите синус угла ACB.
Решение
Треугольник ABC тупоугольный и равнобедренный, так как AC = BC. Поскольку AH является высотой, то есть является перпендикуляром к прямой, содержащей BC, и, следовательно, угол AHC является прямым.
Из этого следует, что треугольник AHC прямоугольный с прямым углом при вершине H. Для прямоугольного треугольника AHC, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины стороны AC:
AC^2 = AH^2 + CH^2Подставим известные значения:
AC^2 = 3^2 + (\sqrt{7})^2 = 9 + 7 = 16 \\ AC = 4Теперь рассмотрим треугольник ABC. Так как треугольник равнобедренный, точка H лежит на медиане, которая также является биссектрисой и высотой. Сторона BC состоит из двух равных частей BH и HC, каждая из которых равна √7. Следовательно, длина всей стороны BC равна 2√7. Теперь мы можем найти синус угла ACB, который равен синусу угла ABC, поскольку треугольник равнобедренный:
\displaystyle \sin{∠ACB} = \frac{AH}{AC}Подставим известные значения:
\displaystyle \sin{∠ACB} = \frac{3}{4}Таким образом, синус угла ACB равен 0,75.
Ответ: 0,75.
