Задача. Объем треугольной пирамиды равен 14. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 2:5, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.
Решение
Нарисуем чертеж к задаче — проведем плоскость через сторону основания пирамиды, которая пересекает ребро в точке M. Задача требует определить объем наибольшей пирамиды с вершиной M. Площадь ее основания совпадает с площадью основания исходной пирамиды SABC. Высота пирамиды MABC в \displaystyle \frac{5}{2+5}=\frac{5}{7} раза меньше, чем высота исходной пирамиды SABC.
Таким образом, для нахождения объема большей из получившихся пирамид, используем формулу:
\displaystyle V_{\text{больш}} = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h_{\text{больш}} = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h \cdot \frac{5}{7}Учитывая, что объем полной пирамиды равен V=\frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h, мы можем записать:
\displaystyle V_{\text{больш}} = \frac{5}{7} \cdot VПодставив известные значения:
\displaystyle V_{\text{больш}} = \frac{5}{7} \cdot 14 = 10Таков итоговый объем наибольшей пирамиды: 10.
Ответ: 10.
