Задача. Найдите точку максимума функции y = \ln(x + 25)^{11} - 11x + 5.
Решение
Для того чтобы найти точку максимума функции y = \ln(x + 25)^{11} - 11x + 5, нам нужно найти производную функции и приравнять её к нулю, чтобы найти критические точки. Затем необходимо проверить вторую производную, чтобы установить, является ли эта точка максимумом.
1. Найдем первую производную y' функции y:
y = \ln(x + 25)^{11} - 11x + 5Используя правило производной от натурального логарифма и правило производной произведения, получаем:
\displaystyle y' = \frac{11}{x + 25} - 112. Приравняем первую производную к нулю и найдем x:
\displaystyle \frac{11}{x + 25} - 11 = 0 \\ \frac{11}{x + 25} = 11 \\ 1 = x + 25 \\ x = -243. Теперь проверим вторую производную y'', чтобы убедиться, что это точка максимума:
\displaystyle y'' = -\frac{11}{(x + 25)^2}Если подставить x = -24 во вторую производную, получим:
\displaystyle y''(-24) = -\frac{11}{(1)^2} = -11Поскольку y''(-24) < 0, это означает, что в точке x = -24 функция имеет максимум.
Ответ: -24 .