Найдите точку максимума функции y = x^3 + 5,5x^2

Найдите точку максимума функции y = x^3 + 5,5x^2 — 42x + 18.

Задание. Найдите точку максимума функции $y = x^3 + 5,5x^2 - 42x + 18$ .

Решение

Для того, чтобы найти точку максимума функции надо определить производную функции и приравнять ее к нулю. Корни получившегося уравнения — критические точки — в которых функция испытывает максимум или минимум.

\displaystyle y'=3x^2+11x-42=0 \\ D=b^2-4ac=11^2-4 \cdot 3 \cdot (-42)=121+12 \cdot 42=121+504=625=25^2 \\[5mm] x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-11-25}{6}=\frac{-36}{6}=-6 \\[5mm] x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-11+25}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}

Критические точки определили, теперь надо определить где какая точка. Для этого мы можем использовать либо метод интервалов и определение знака производной в каждом или метод второй производной.

Метод интервалов — если при переходе критической точки первая производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке будет наблюдаться максимум функции, если с минуса на плюс — то минимум функции. Действительно, ведь когда функция возрастает у производной знак плюс, а когда убывает — знак минус. Вот и представьте — функция сначала возрастала, а при переходе через критическую точку (производная там равна нулю) стала убывать (производная стала иметь минусовые значения), что это будет за точка? Это будет максимум функции.

Второй метод — метод второй производной. Если в критической точке вторая производная больше нуля, то это точка минимума, а если меньше нуля, то точка максимума.

Итак, проверим с помощью второй производной: