В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD основание ABCD – квадрат со стороной 6, а боковое ребро равно 9. На ребре SA отмечена точка М так, что АM=6.
а) Постройте перпендикуляр из точки S на плоскость BCM.
б) Найдите расстояние от вершины S до плоскости BCM.
Решение
Смотрите задачи вариантов 1 и 7. Чертеж чуть отличается, так как точка М делит боковое ребро на отрезки 6 и 3 (по условию АМ=6). Рассуждения те же.
а) Сечение пирамиды проходящее через точки В,С и М представляет собой равнобокую трапецию BMNC, KF – ось трапеции. Перпендикуляр из точки S на плоскость BCM — высота ∆SKF. В зависимости от угла SKF эта высота может лежать внутри ∆SKF или вне ∆SKF. Обозначим SKF через α и определим угол α из теоремы косинусов. Для этого нужно знать все стороны ∆SKF.
Так же нужно определить угол φ при основании каждой боковой грани пирамиды.
Рассмотрим грань SAD.
В ∆МАВ на основании теоремы косинусов имеем:
Рассмотрим равнобедренную трапецию BMNC. Проведем МР⏊ВС. Так как МК=1,то PF=1 ⇒ BP=3-1=2. Из ∆BPM находим:
Наконец, из ∆SKF определяем косинус угла α:
Итак, cosα < 0, поэтому SKF – тупой, и высота ∆SKF, проведенная из вершины S лежит вне ∆SKF.
б) Проведем ST⏊KF и найдем ST из ∆STK. Отрезок ST и есть искомое расстояние от вершины S до плоскости ВСМ.
ST=SK·sin(π-α)=SK·sinα.
