Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных решения.

Решение

ОДЗ: -2 ≤ х < 6. Рассмотрим первое уравнение системы. Данная дробь будет равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель нет.

Тогда из второго уравнения системы у = а-х, отсюда   у = а + 2. Итак, одно решение системы уже имеется. А сколько решения вообще может иметь данная система?

2) у²-ху + 3х-у-6 = 0. ( * )

Выразим х через у из второго уравнения системы. Получим: х = а-у. Подставим это выражение вместо х в уравнение  ( * ).

у²-(а-у)у + 3(а-у)-у-6 = 0;

у²-ау + у² + 3а-3у-у-6 = 0;

2у²-4у-ау + 3а-6 = 0;

2у²-(4 + а)у + 3а-6 = 0. Находим дискриминант

D = (4 + a)²-4 ∙ 2 ∙ (3a-6) = 16 + 8a + a²-24a + 48 = a²-16a + 64 = (a-8)² ≥ 0.

Дискриминант D = (a — 8)² = 0 при а = 8. Подставляем а = 8 и получаем:

2у²-(4 + 8)у + 3 ∙ 8-6 = 0     →    2у²-12у + 18 = 0     →    у²-6у + 9 = 0      →         →   (у-3)² = 0   →   у = 3.

Находим х = 8-3 = 5.  Это значение удовлетворяет ОДЗ. Мы нашли решение системы: (5; 3), которое соответствует значению а = 8. У нас уже два решения системы.

3) Поищем другие решения системы. Разложим многочлен в левой части равенства ( * ) на множители.

у²-ху + 3х-у-6 = (у²-у-6)-(ху-3х) = (у + 2)(у-3)-х(у-3) = (у-3)(у + 2-х).

Решаем уравнение:

(у-3)(у + 2-х) = 0. Отсюда у-3 = 0 или у + 2-х = 0.

Тогда в первом случае у = 3, и этот случай (при а = 8) мы рассмотрели выше. При этом, подставляя у = 3 во второе уравнение системы, получаем х-3 + а = 0.

Отсюда х = а-3. Учтём ОДЗ и получим двойное неравенство:

-2 ≤ а-3 < 6;

1 ≤ а < 9. Итак, при а ∈ [1; 9) данная система имеет два решения.

Во втором случае у + 2-х = 0. Отсюда у = х-2.

Выразим у из уравнения х + у-а = 0. Получаем у = а-х. Левые части равенств равны – будут равны и правые части.

х-2 = а-х     →      2х = а + 2

Третье решение система принимает при  а ∈ [-6; 10).

Обращаем внимание на то, что в промежуток  [1; 9) входит значение а = 8, при котором система имеет решение (5; 3), а сам промежуток [1; 9) входит в промежуток [-6; 10).  Из этого следует, что если мы возьмём значение а = 8 и те значения а из промежутка [-6; 10), которые не входят в промежуток [1; 9). В этом случае данная система будет иметь ровно два решения.

Получаем:

а ∈ [-6; 1) ∪ [9; 10) и а = 8.

Ответ: а ∈ [-6; 1) ∪ [9; 10) и а = 8.