Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два решения.
Решение.
Запишем 1-ое уравнение системы в виде: x2 + 5x + y2 -y -52 = |x-5y +5|. ( * )
1) Так как правая часть равенства неотрицательна, то и левая часть равенства должна быть таковой, а именно: x2 + 5x + y2-y-52 ≥ 0. Выделим из алгебраических сумм (x2 + 5x) и (y2— y) полные квадраты двучленов.
x2 + 2 ∙ х ∙ 2,5 + 2,52-2,52 + y2-2∙y∙0,5 + 0,52-0,52-52 ≥ 0;
(x2 + 2 ∙ х ∙ 2,5 + 2,52) + (y2-2 ∙ y ∙ 0,5 + 0,52) ≥ 52 + 2,52 + 0,52;
(х + 2,5)2 + (у-0,5)2 ≥ 52 + 6,25 + 0,25;
(х + 2,5)2 + (у-0,5)2 ≥ 58,5. ОДЗ: решения системы находятся среди множества точек, лежащих вне окружности с центром в точке Q(-2,5; 0,5) и радиусом
2) Раскроем модульные скобки в уравнении ( * ), считая, что выражение под знаком модуля неотрицательно, т.е. х-5у +5 ≥ 0 или 5у ≤ х + 5, отсюда у ≤ 0,2х+1. Тогда равенство ( * ) запишется в виде:
x2 + 5x + y2-y-52 = x-5y +5. Перенесём все в левую часть и упростим её.
x2 + 5x + y2-y-52-x + 5y-5 = 0;
x2 + 4x + y2 + 4у-57 = 0. Выделим из алгебраических сумм (x2 + 4x) и (y2 + 4y) полные квадраты двучленов.
x2 + 4x + 4-4 + y2 + 4у +4-4-57 = 0;
(x2 + 4x + 4) + (y2 + 4у +4) = 57 + 4 + 4;
(х + 2)2 + (у + 2)2 = 65. Это уравнение окружности с центром в точке О1(-2; -2) и радиусом
Рассматривать будем только те точки этой окружности, которые лежат ниже прямой х-5у +5 = 0, так как мы получили уравнение этой окружности при условии, что х-5у +5 ≥ 0, т.е. при у ≤ 0,2х+1. Заметим, что все точки этой окружности, лежащие ниже прямой х-5у +5 = 0, находятся вне окружности с центром в точке Q(-2,5; 0,5), поэтому удовлетворяют ОДЗ.
3) Теперь раскроем модульные скобки в уравнении ( * ), считая, что выражение под знаком модуля отрицательно, т.е. х-5у +5 < 0 или 5у > х + 5, отсюда у>0,2х+1. Тогда равенство ( * ) запишется в виде:
x2 + 5x + y2-y-52 = -x + 5y +5. Перенесём все в левую часть и упростим её.
x2 + 5x + y2-y-52 + x-5y + 5 = 0;
x2 + 6x + y2-6у-47 = 0. Выделим из алгебраических сумм (x2 + 6x) и (y2-6y) полные квадраты двучленов.
x2 + 6x + 9-9 + y2-6у + 9-9-47 = 0;
(x2 + 6x + 9) + (y2-6у +9) = 47 + 9 + 9;
(х + 3)2 + (у-3)2 = 65. Это уравнение окружности с центром в точке О2(-3; 3) и радиусом
Рассматривать будем только те точки этой окружности, которые лежат выше прямой х-5у +5 = 0, так как мы получили уравнение этой окружности при условии х-5у +5 < 0, т.е. при условии у > 0,2х+1. Заметим, что все точки этой окружности, лежащие выше прямой х-5у +5 = 0, находятся вне окружности с центром в точке Q(-2,5; 0,5), поэтому удовлетворяют ОДЗ.
4) Найдем точки пересечения окружностей с центрами в точках О1 и О2. Это также точки пересечения любой из этих окружностей с прямой х-5у +5 = 0. Для определенности возьмем уравнение первой из окружностей и решим систему:
Из 2-го уравнения выразим х через у и подставим в 1-ое уравнение.
Упростим и решим 2-ое уравнение полученной системы.
(5у-3)2 + (у + 2)2 = 65;
25у2-30у + 9 + у2 +4у + 4-65 = 0;
26у2-26у-52 = 0;
у2-у-2 = 0. По теореме Виета у1 + у2 =1, у1 ∙ у2 = -2. Отсюда у1 = -1, у2 = 2.
Тогда х1 = 5 ∙ у1-5 = 5 ∙ (-1)-5 = -10; х2 = 5 ∙ у2-5 = 5 ∙ 2-5 = 2.
Точки пересечения окружностей с центрами О1 и О2 лежат на прямой х-5у +5 = 0, и это точки Т(-10; -1) и А(5; 2).
5) Разберемся, что представляет собой прямая у-2 = а(х-5). Запишем это уравнение в виде у = а(х-5) + 2 и вспомним, как получается график функции y = f(x-m) + n из графика функции y = f(x). Он получается переносом графика функции y = f(x) на m единичных отрезков вдоль оси Ох и на n единичных отрезков вдоль оси Оу. Следовательно, график функции у = а(х-5) + 2 можно получить из графика функции у = ах переносом на 5 единиц вправо и на 2 единицы вверх. Другими словами, прямая пройдет через точку А(5; 2) и должна иметь такой угловой коэффициент а, чтобы пересечь наши окружности с центрами в точках О1 и О2 ровно в двух точках. Это произойдет только в тех случаях, когда прямая, проходя через точку А, общую для обеих окружностей, далее будет пересекать только одну из них. Предельными положениями нашей прямой (с параметром а) будут касательные к окружностям в точке А. Нам понадобятся не сами уравнения касательных, но их угловые коэффициенты. Как мы их получим?
6) Радиус О1А, проведенный в точку касания будет перпендикулярен касательной. Угловые коэффициенты k1 и k2 двух взаимно перпендикулярных прямых y = k1x+b1 и y = k2x+b2 подчиняются закону: k1 ∙ k2 = -1. Составим уравнения прямой О1А и прямой О2А, определим угловой коэффициент каждой прямой, а затем найдем угловые коэффициенты касательных, являющихся предельными положениями прямой у = а(х-5) + 2. Промежуток между найденными значениями параметра а и будет ответом задачи.
Используем формулу уравнения прямой, проходящей через две данные точки (х1; у1) и (х2; у2). Эта формула имеет вид:
Составим уравнение прямой, проходящей через точки О1(-2; -2) и А(5; 2). У нас х1 = -2, у1 = -2, х2 = 5, у2 = 2. Подставляем эти значения в формулу:
Дальше можно не продолжать – понятно, что угловой коэффициент прямой О1А равен 4/7. Тогда угловой коэффициент прямой, перпендикулярной прямой О1А, равен —7/4 .
Итак, уравнение касательной в точке А к окружности с центром в точке О1 имеет вид:
Аналогично, составляем уравнение прямой О2А.
О2(-3; 3) и А(5; 2). У нас х1 = -3, у1 = 3, х2 = 5, у2 = 2. Подставляем эти значения в формулу ( ** ) и получаем:
Угловой коэффициент прямой О2А равен —1/8 . Тогда угловой коэффициент прямой, перпендикулярной прямой О2А, равен -1 : (- 1/8 ) = 8.
Итак, уравнение касательной в точке А к окружности с центром в точке О2 имеет вид: у = 8(х-5) + 2.
Таким образом, если угловой коэффициент а прямой у = а(х-5) + 2 будет принимать значения от —7/4 до 8 включительно, то прямая у = а(х-5) + 2, проходящая через точку А, в которой пересекаются две окружности, будет только еще один раз пересекать одну из окружностей.
Данная система уравнений будет иметь только два решения при а∈ [- 7/4 ; 8].
Ответ: —7/4 ≤ а ≤ 8.
