Задача. Найдите значение выражения \displaystyle 2^{12\log_8 5}.
Решение
Сначала разберемся с логарифмической частью \log_8 5 . Заметим, что 8 — это 2^3 .
Используем свойство логарифма \displaystyle \log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b:
\displaystyle \log_8 5 = \log_{2^3} 5 = \frac{1}{3} \log_2 5Теперь подставим это в исходное выражение:
\displaystyle 2^{12\log_8 5} = 2^{12 \cdot \frac{1}{3} \log_2 5} = 2^{4 \log_2 5}Далее используем свойство a^{b \cdot \log_a c} = c^b:
2^{4 \log_2 5} = 5^4Теперь вычислим 5^4:
5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625Таким образом, значение выражения 2^{12\log_8 5} равно 625.
Ответ: 625.
