Найдите значение выражения 2^(4log4 12)

Задача. Найдите значение выражения \displaystyle 2^{4\log_4{12}}.

Решение

Чтобы найти значение выражения \displaystyle 2^{4\log_4{12}}, воспользуемся свойствами логарифмов.

Сначала преобразуем выражение, используя свойство логарифмов:

\displaystyle \log_{a^m} b=\frac{1}{m} \log_a b

Получим:

\displaystyle 2^{4\log_4{12}}=2^{\frac{4}{2} \log_2{12}}=2^{2\log_2{12}}

Теперь используем следующее свойство логарифмов:

\displaystyle m\log_a b =\log_a b^m и тогда получаем: \displaystyle 2^{\log_2{12}}=2^{\log_2 12^2}

По основному логарифмическому тождеству a^{log_a{b}}=b, тогда:

\displaystyle 2^{\log_2 12^2}=12^2=144

Таким образом, значение выражения \displaystyle 2^{4\log_4{12}} равно 144.

Ответ: 144.