Найдите значение выражения sin126° / (4 * sin63° * sin27°)

Задача. Найдите значение выражения \displaystyle \frac{\sin 126^\circ}{4 \sin 63^\circ \cdot \sin 27^\circ}.

Решение

Первый способ

Заметим, что 126^\circ это 90^\circ + 36^\circ, и мы можем использовать формулу приведения: \sin(90^\circ + 36^\circ) =\cos 36^\circ.
Также заметим, что \sin 63^\circ = \cos 27^\circ и \sin 27^\circ = \cos 63^\circ, так как синус угла равен косинусу его дополнительного угла (90° — угол).

Теперь наше выражение примет следующий вид:

\displaystyle \frac{\cos 36^\circ}{4 \cos 27^\circ \cdot \cos 63^\circ}

Используя формулу для произведения косинусов: \displaystyle \cos a \cdot \cos b = \frac{1}{2} (\cos(a + b) + \cos(a - b)), получаем:

\displaystyle 4 \cos 27^\circ \cdot \cos 63^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2} (\cos(27^\circ + 63^\circ) + \cos(27^\circ - 63^\circ))= 2 (\cos 90^\circ + \cos(-36^\circ))= 2 (0 + \cos 36^\circ)= 2 \cos 36^\circ

Теперь подставим это в исходное выражение:

\displaystyle \frac{\cos 36^\circ}{2 \cos 36^\circ} = \frac{1}{2}=0,5

Таким образом, значение данного выражения равно 0,5.

Второй способ

Заметим, что 126^\circ это 180^\circ - 54^\circ, а также что 63^\circ это 90^\circ - 27^\circ, тогда получаем:

\displaystyle \frac{\sin 126^\circ}{4 \sin 63^\circ \cdot \sin 27^\circ}= \frac{\sin (180^\circ - 54^\circ)}{4 \sin (90^\circ - 27^\circ) \cdot \sin 27^\circ}

По формулам приведения:

\sin (180^\circ - 54^\circ)=\sin 54^\circ и \sin (90^\circ - 27^\circ)=\cos 27^\circ

получаем:

\displaystyle \frac{\sin (180^\circ - 54^\circ)}{4 \sin (90^\circ - 27^\circ) \cdot \sin 27^\circ}=\frac{\sin 54^\circ}{4 \cos 27^\circ \cdot \sin 27^\circ}

Далее используем формулу синуса двойного угла:

\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha

Тогда 4 \cos 27^\circ \cdot \sin 27^\circ=2 \sin 54^\circ

И, окончательно:

\displaystyle \frac{\sin 54^\circ}{4 \cos 27^\circ \cdot \sin 27^\circ}=\frac{\sin 54^\circ}{2 \sin 54^\circ}=\frac{1}{2}=0,5

Ответ: 0,5.