Задача. Основания трапеции равны 29 и 44. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.
Решение
Средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей трапеции. Поэтому, отрезок, показанный на рисунке к задаче, содержится в средней линии трапеции.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований трапеции. Запишем.
\displaystyle m+x+m=\frac{a+b}{2}или
\displaystyle 2m+x=\frac{a+b}{2} (1)Все данные известны a=44, b=29, неизвестно значение m.
Длину отрезка m найдем как среднюю линию треугольника, с основанием, равным большей стороне трапеции:
\displaystyle m+x=\frac{a}{2} \\[5mm] m=\frac{a}{2}-x=\frac{44}{2}-x=22-x (2)Подставим (2) в выражение (1):
\displaystyle 2(22-x)+x=\frac{44+29}{2} \\[5mm] 44-2x+x=36,5 \\ -x=36,5-44 \\ x=7,5Ответ: 7,5.
Почему по сторонам от отрезка х отрезки равны? Это может быть, если трапеция равно бедренная, а в условии этого не сказано.
Моё решение: верхний и Нижний треугольники подобны(свойство трапеции). Коэфф их подобия 29/44. Высоты от точки пересечения диагоналей так же относятся друк к другу как 29 к 44. Запишем высоту трапеции: 29*х + 44*х = 73*х. Основание маленького треугольника лежит на средней линии трапеции, так так середины всех отрезков между основаниям трапеции лежат на средней линии(свойство трапеции). Высота маленького треугольника равна: 73*х — 29*х — 36.5*х = 7.5*х. Маленький треугольник подобен нижнему большому. Коэффициент подобия 7.5/44. Длина основания маленького треугольника равна 7.5см.
Потому что и справа и слева от отрезка x отрезки m являются средними линиями треугольников с основанием равным верхнему основанию трапеции. Если основания треугольников равны — то не важно насколько разными будут их стороны — средние линии таких треугольников будут равны, поэтому и обозначены два одинаковых отрезка буквой m.
Никто не требует от вас выводить на экзамене всю аналитическую геометрию. Это было сделано до вас многими умными людьми. Некоторые вещи надо просто знать.
Чтобы решить данную задачу нужно в геометрии хорошо разбираться.
Спасибо! Долго искал решение этой задачи.
У меня тоже возник вопрос о равнобедренности трапеции, но Ольга Викторовна доходчиво объяснила, всё получилось!
Ура у меня все получиась