Задача. Основания трапеции равны 29 и 44. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.
Решение
Средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей трапеции. Поэтому, отрезок, показанный на рисунке к задаче, содержится в средней линии трапеции.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований трапеции. Запишем.
\displaystyle m+x+m=\frac{a+b}{2}или
\displaystyle 2m+x=\frac{a+b}{2} (1)Все данные известны a=44, b=29, неизвестно значение m.
Длину отрезка m найдем как среднюю линию треугольника, с основанием, равным большей стороне трапеции:
\displaystyle m+x=\frac{a}{2} \\[5mm] m=\frac{a}{2}-x=\frac{44}{2}-x=22-x (2)Подставим (2) в выражение (1):
\displaystyle 2(22-x)+x=\frac{44+29}{2} \\[5mm] 44-2x+x=36,5 \\ -x=36,5-44 \\ x=7,5Ответ: 7,5.
Почему по сторонам от отрезка х отрезки равны? Это может быть, если трапеция равно бедренная, а в условии этого не сказано.
Моё решение: верхний и Нижний треугольники подобны(свойство трапеции). Коэфф их подобия 29/44. Высоты от точки пересечения диагоналей так же относятся друк к другу как 29 к 44. Запишем высоту трапеции: 29*х + 44*х = 73*х. Основание маленького треугольника лежит на средней линии трапеции, так так середины всех отрезков между основаниям трапеции лежат на средней линии(свойство трапеции). Высота маленького треугольника равна: 73*х — 29*х — 36.5*х = 7.5*х. Маленький треугольник подобен нижнему большому. Коэффициент подобия 7.5/44. Длина основания маленького треугольника равна 7.5см.
Потому что и справа и слева от отрезка x отрезки m являются средними линиями треугольников с основанием равным верхнему основанию трапеции. Если основания треугольников равны — то не важно насколько разными будут их стороны — средние линии таких треугольников будут равны, поэтому и обозначены два одинаковых отрезка буквой m.
Никто не требует от вас выводить на экзамене всю аналитическую геометрию. Это было сделано до вас многими умными людьми. Некоторые вещи надо просто знать.