Решите уравнение x =(8x + 36)/(x + 13). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Задача. Решите уравнение $\displaystyle x = \frac{8x + 36}{x + 13}$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Решение

Сначала умножим обе части уравнения на знаменатель правой части, чтобы избавиться от дроби.

Получаем:

x(x + 13) = 8x + 36

Раскрываем скобки:

x^2 + 13x = 8x + 36

Перенесем все члены в левую сторону:

x^2 + 13x - 8x - 36 = 0

Упрощаем уравнение:

x^2 + 5x - 36 = 0

Теперь решим это уравнение через дискриминант. Формула дискриминанта D для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ выглядит так:

D = b^2 - 4ac

Подставляем наши коэффициенты ( $a = 1$ , $b = 5$ , $c = -36$ ):

D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169

Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных корня. Формулы для корней:

\displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}

Подставляем значения:

\displaystyle x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{169}}{2}

Рассчитываем оба корня:

\displaystyle x_1 = \frac{-5 + 13}{2} = \frac{8}{2} = 4 \\ x_2 = \frac{-5 - 13}{2} = \frac{-18}{2} = -9

Таким образом, у нас получилось два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -9$ . Так как в задаче требуется указать меньший из корней, ответом будет $x = -9$ .

Ответ: -9.