Задача. Прямая y = 5x — 8 является касательной к графику функции y = 6x^2 + bx + 16. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
Решение
Чтобы найти значение b, когда прямая y = 5x - 8 является касательной к параболе y = 6x^2 + bx + 16, мы приравниваем функции друг к другу и решаем полученное уравнение. Учитывая, что касательная касается параболы в одной точке, дискриминант получившегося квадратного уравнения должен быть равен нулю. Таким образом, мы имеем:
6x^2 + bx + 16 = 5x - 8 \\ 6x^2 + (b - 5)x + 24 = 0Чтобы найти точку касания, решим уравнение D = 0, где D — дискриминант квадратного уравнения:
D = (b - 5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 24=0Поскольку дискриминант равен нулю для касательной, мы имеем:
(b - 5)^2 = 4 \cdot 6 \cdot 24 \\ (b - 5)^2 = 576 \\ b - 5 = \pm 24И получаем два значения:
b_1=-19, \, b_2=29Тогда находим абсциссу точки касания:
\displaystyle x=\frac{-(b-5)}{2 \cdot 6}=\frac{-(b-5)}{12}Подставляем значение b_1:
\displaystyle x=\frac{-(-19-5)}{12}=\frac{24}{12}=2Подставляем значение b_2:
\displaystyle x=\frac{-(29-5)}{12}=\frac{-24}{12}=-2Второе значение b не подходит по условию задачи (абсцисса точки касания должна быть больше 0, а у нас получилось -2<0). Значит, значение b=-19.
Ответ: -19.
