Задача. Расстояние между пристанями А и В равно 140 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 52 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Дано расстояние между пристанями А и В, равное 140 км. Плот двигается по течению реки, а яхта отправляется через час после плота. Когда яхта возвращается в точку А, плот прошёл 52 км. Скорость течения реки составляет 4 км/ч. Нужно найти скорость яхты в стоячей воде.
Обозначим скорость яхты в стоячей воде как v км/ч. Тогда её скорость по течению реки будет v + 4 км/ч, а против течения v - 4 км/ч. Время, которое яхта затратит на путь от А до В и обратно, будет равно времени, за которое плот проплывёт 52 км.
Так как плот двигался на 1 час дольше, чем яхта, и его скорость равна скорости течения реки (4 км/ч), он проплыл за это время 4 км. Следовательно, общее время движения плота составит \displaystyle \frac{52}{4} = 13часов.
Яхта двигалась на 1 час меньше, то есть 12 часов, и за это время она сделала путь туда и обратно, то есть 140 км в одну сторону и 140 км обратно.
Теперь можно составить уравнение, учитывая, что общее время движения яхты составляет 12 часов:
\displaystyle \frac{140}{v+4} + \frac{140}{v-4} = 12Умножим обе части уравнения на (v+4)(v-4)(это разность квадратов), чтобы избавиться от дробей:
140(v-4) + 140(v+4) = 12(v^2-16)Раскроем скобки:
140v - 560 + 140v + 560 = 12v^2 - 192Суммируем числа и объединяем подобные слагаемые:
280v = 12v^2 - 192Приведём уравнение к квадратному виду:
12v^2 - 280v - 192 = 0Разделим все на 4, чтобы упростить уравнение:
3v^2 - 70v - 48 = 0Находим дискриминант
D=b^2-4ac=(-70)^2-4 \cdot 3 \cdot (-48)= 4900+576=5476=74^2Тогда
\displaystyle v_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{70-74}{6}=\frac{-4}{6}<0 корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательной в контексте данной задачи. \displaystyle v_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{70+74}{6}=24Значит, скорость яхты в стоячей воде 24 км/ч.
Ответ: 24.
