Решите уравнение √(3-2x) = 2x+3. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней

Задача. Решите уравнение $\displaystyle \sqrt{3 - 2x} = 2x + 3$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Решение

Сначала избавимся от корня, возведя обе части уравнения в квадрат:

(\sqrt{3 - 2x})^2 = (2x + 3)^2

Раскроем скобки:

3 - 2x = 4x^2 + 12x + 9

Перенесем все члены уравнения в левую сторону и приведем подобные:

4x^2 + 12x + 9 + 2x - 3 = 0 \\ 4x^2 + 14x + 6 = 0

Делим все коэффициенты на 2 для упрощения уравнения:

2x^2 + 7x + 3 = 0

Теперь попробуем решить полученное квадратное уравнение через дискриминант:

D = b^2 - 4ac= 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3=49 - 24= 25

Так как дискриминант положительный, у уравнения будет два корня. Находим их:

\displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}= \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{4} \\[5mm] x_{1} = \frac{-7 - 5}{4}= \frac{-12}{4}= -3 \\[5mm] x_{2} = \frac{-7 + 5}{4}= \frac{-2}{4}= -\frac{1}{2}=-0,5

Итак, у нас есть два корня: $x_1 = -3$ и $\displaystyle x_2 = -\frac{1}{2}$ .

Однако, мы должны учесть ОДЗ (область допустимых значений) исходного уравнения, так как величина под корнем не может быть отрицательной. Для исходного уравнения ОДЗ будет $3 - 2x \geq 0$ и $2x+3 \geq 0$ , что дает нам $\displaystyle -\frac{3}{2} \leq x \leq \frac{3}{2}$ .

ОДЗ удовлетворяет только корень $x=-0,5$ .

Ответ: -0,5.